2023 Fiscal Year Annual Research Report
標準束の複素幾何学; 標準計量の退化と漸近挙動の研究
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21H00979
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
高山 茂晴 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20284333)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 複素幾何学 / 相対標準束 / 標準計量 / 漸近挙動 / Griffiths正値性 / 最小拡張 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素多様体間の固有正則写像 f : X --> Y に関して, その相対随伴束 K_{X/Y}+mL およびその順像層 f_*(K_{X/Y}+mL) の正値性に関する研究を行った. この正値性の研究は f : X --> Y や L をどう設定するかにより, 多種多様な問題に応用される. より具体的には次のような場合に研究を行った. 一つ目は E を Y 上の階数 r の豊富ベクトル束とする. f : X=P(E) --> Y を E の射影化, L = O(1) --> X を標準超平面切断束とする. このとき f_*(K_{X/Y}+rL) = det E, f_ * (K_{X/Y}+(r+1)L) = E x det E となる. E が豊富ならば, これら det E, E x det E には順像層として中野正なエルミート計量が入る. Griffiths予想とは「E にGriffiths正なエルミート計量が入る」というものであり, 上の考察とは幾らかの(大きな)食い違いがある. det E, E x det E の正値性を与える計量を注意深く構成し, 正値性を評価する必要がある. 二つ目は, f : X --> Y の一般ファイバーの対数的幾何種数が1の場合の研究である. 極小モデルプログラムへの応用を視野に入れ３--４年前の研究を発展させる形で研究を行った.
一方,７月下旬には国際研究集会「多変数複素解析葉山シンポジウム」を、１２月には国際研究集会「複素幾何学シンポジウム」を共同開催した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの解析的な研究成果をもとに、代数幾何の研究者と共同研究が進行しつつあるから。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究を継続して研究を行う. 複素多様体間の固有正則写像 f : X --> Y に関して, その相対随伴 K_{X/Y}+mL およびその順像層 f_*(K_{X/Y}+mL) の正値性に関する研究を行う. E を Y 上の階数 r の豊富ベクトル束とする. f : X = P(E) --> Y を E の射影化, L = O(1) --> X を標準超平面切断束とする. このとき f_*(K_{X/Y}+rL) = det E, f_*(K_{X/Y}+(r+1)L) = E x det E となる. Eが豊富ならば, これら det E, E x det E には順像層として中野正なエルミート計量が入る. det E, E x det E の正値性を与える計量を注意深く構成し, 正値性を評価する必要がある. これまでの経験では、O(1)の正曲率エルミート計量 h を f の各ファイバー毎にどれだけ射影空間 P^{r-1} のO(1)の標準的な計量と近く取れるか、という点が問題を解く鍵のようである。計量 h の構成に大沢-竹腰のL2拡張定理が適用できるのではないかと期待している。この部分についてはL2拡張に詳しい研究協力者と協力する。
一方で, f : X --> Y の一般ファイバーの対数的幾何種数が1の場合の研究を行う. 極小モデルプログラムへの応用を視野に入れ４--５年前の研究を発展させる形で研究を行う. 標語的には捩れ川又正値性定理と呼ばれる順像層の正値性定理を示す. これを応用し、極小モデル理論におけるある種の一般化対数的標準環の有限生成性を示す. ここでは順像層 f_*(K_{X/Y}+L) の正値性よりむしろ、K_{X/Y}+L の正値性が鍵となる. この部分については極小モデル理論の専門家と協力する.
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