2021 Fiscal Year Annual Research Report
Differential geometrey of singularities and its applications
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21H00981
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
梅原 雅顕 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90193945)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
Rossman W.F 神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485)
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 教授 (70451432)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 特異点 / 波面 / 超曲面 / 交叉帽子 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．分担者の山田氏，佐治氏，協力者の本田氏，直川氏との共同研究として，波面について知られるZakalyukinの補題をフロンタル特異点にまで拡張し応用を与えた．特に以前，筆者等が与えたツバメの尾の判定条件の証明が簡明になった．関連して，フロンタルではないが，曲面に現れる主要な特異点である「交叉帽子特異点」についても同様の研究を行い，Zakalyukin 型の定理を証明することに成功した．これらを２つの論文にまとめた．
２．3次元de Sitter空間の平均曲率1の空間的な曲面として，「不動点をもつ１係数等長変換群」で不変な曲面が複数存在し，G-catenoid とよばれる．分担者の山田氏・ラスマン氏，協力者の藤森氏，國分氏，川上氏，Yang氏らと，それらの多くが，非自明な解析的な拡張をもち，２次元Double-Cone manifoldの構造をもつことを示した．さらに，この事実から，拡張後のG-catenoidが，これ以上の解析的拡張をもたないことが示せた．この成果は論文として現在投稿中である．
３．ローレンツ・ミンコフスキー時空における超曲面は，すべての点で誘導計量が退化するとき「光的」であるという．分担者の山田氏，協力者の赤嶺氏，本田氏との共同研究により，光的な超曲面で対応する光的ベクトル場が完備となるものは，ユークリッド空間の超曲面の平行曲面族から構成されるものに限ることを示し，いくつかの重要な応用を与えた．この成果は，論文として現在投稿中である．
４．「三次元球面に，はめ込まれた平坦トーラスの直径が，球面の直径に一致するだろう」という予想に長年，筆者は取り組み成果を積んできたが，協力者の北川氏，榎本氏らと共同研究を行い，１つの新たな知見を得ることができた．これを基に今後も研究を継続していく所存である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１．「計量の退化点と，写像の特異点との関係」については，初年度の計画だけでなく，交叉帽子特異点についても同様の結果が得られ，予想以上の成果があった．
２．「特異点をもつ曲面・超曲面への上記の研究の応用」については，概ね当初の計画どおりの成果を得た．
３．「微分幾何の諸問題への応用」については，論文としてまとめるほどには成果があがらなかったが，今後の研究発展が期待できる状況である．
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| Strategy for Future Research Activity |
現段階で研究は，ほぼ計画どおり遂行されており，今後も予定どおり研究を遂行する所存である．
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Research Products
(3 results)
