2023 Fiscal Year Annual Research Report
The investigation of the non-triviality of string topology in a topological quantum field theory and differentiable stacks
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21H00982
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
栗林 勝彦 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40249751)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
境 圭一 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (20466824)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | ストリングトポロジー / 弦作用素 / 微分代数モデル / ループ積 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
写像空間は幾何学の研究において様々な場面に登場し，トポロジーの研究においてもその重要性を増している。一次元球面や2次元曲面を定義域空間としてもつ写像空間，すなわち自由ループ空間やその一般化空間のホモロジーには，値域空間が多様体である場合 Chas--Sullivan のストリングトポロジーが付随する。本研究では，値域空間を Lie 群の分類空間や可微分スタックに置き換えることで，ストリングトポロジーが引き起こす2次元開閉位相的場の理論(TQFT)を考察し，理論に現れる弦作用素の非自明性を検証するとともにTQFTに関連する作用素の特性を明らかにしてきた。2023年度は多様体Mに関する古典的なCartan カルキュラスに対応するFiorenza--KowalzigのCartanカルキュラスをMの自由ループ空間上で展開した。このように，様々なストリング作用素の間の関係式を明確にすることは，個々の作用素の非自明性の検討研究において鍵になると考えている。
現在までに，単連結多様体Mに対してM上の自己ホモトピー同値写像の作るモノイドの有理(実)ホモトピー群から，Mの自由ループ空間の実係数コホモロジー上の微分作用素がつくる空間への縮約作用素，Lie 微分とBatalin--Vilkovisky作用素の間の関係式を明確に記述し，これら作用素がCartanカルキュラスを構成していること示している。この結果は現在プレプリント(arxiv.org/abs/2207.05941)としてまとめられarXivで公開され，現時点(5月中旬)では論文としてJournal of Pure and Applied Algebraに受理されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
昨年度に引き続き，ストリング作用素に関する非自明性の研究に関連して，共同研究者，山口俊博(高知大学)，内藤貴仁(日本工業大学)，若月駿(名古屋大学)との研究により大きな進展があった。多様体Mに関する古典的なCartan カルキュラスはCartan マジック公式を含む，M上のベクトル場とLie 微分，外微分，内部積に関する関係式の総称として捉えることができる。こうした等式群と同様の等式がFiorenza--Kowalzigにより，一般の微分(Lie)代数を用いて定式化されている。この枠組みでMの自由ループ空間に関するCartan カルキュラスを進めることが可能となる。
Connesの結果から多様体M上の微分可能関数が作る代数の連続Hochschild コホモロジーはConnes B-写像との対でMのde Rham 複体と考えることができる。従って，さらにHochschild ホモロジーをMのde Rham 複体に適用して，``第２段 Cartan カルキュラス''を構築することは自然な流れとなる。問題はベクトル場が作るLie代数の代わりに第２段 Cartan カルキュラスにおいては何を用意するかであるが，これに関してはMのde Rham 複体のAndre--Quillen コホモロジーが相応しい。上述の共同研究で，Lie微分と内部積に相当する作用をこの枠組みで手に入れることができている。Mのde Rham 複体のHochschild ホモロジーを自由ループ空間LMのコホモロジーと同一視することで，LM上でのCartan カルキュラスの体系を整えるとともにそこに現れる作用素，演算子の具体的計算を行なった。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度からディフェオロジー的側面からもストリングトポロジーを考察するため，Lie 亜群の分類空間(またはスタック)のコホモロジーに収束するBehrendのスペクトル系列の構成方法をもとに，一般位相圏の分類空間の体係数コホモロジーに代数として収束するスペクトル系列の構成に取り掛かり，2024年5月現在までに完成している。こうして，ある種のループスタックのコホモロジーを計算するシステムが整ったといえる。例えば，離散群が作用する空間に対して，その変換亜群を経由して得られるスタックのループコホモロジーに収束するスペクトル系列を手に入れたことになる。Luc Menichi（University of Angers）との共同研究で進めた分類空間のストリングトポロジー研究では，双対であるループコホモロジーの環構造がストリング作用素を決定するときに大いに役立っている，この手法を拡張することで，ループスタックのストリングトポロジーに現れる作用素の非自明性の検証研究を進める。そこでまず実射影空間の自由ループ空間のコホモロジー環の構造をZ/p (pは奇素数)上で完全に決定する。完成すれば単連結空間でない空間に対する新しい計算結果を得たことになるので，当該結果を論文として発表する予定である．
また，本研究推進のために，分担者と鳥居 猛氏(岡山大学)，若月駿氏(名古屋大学)と共に研究集会「空間の代数的・幾何的モデルとその周辺」を開催し，さらに研究協力者とともにディフェオロジーやストリングトポロジーに関連するセミナーや国際研究集会を開催する計画である。
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