2022 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric quantum representations of discrete groups and their extension to higher category
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21H00986
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
河野 俊丈 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (80144111)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
北山 貴裕 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10700057)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
鈴木 正明 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (70431616)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 組みひも群 / 量子群 / 共形場理論 / 高次圏 / ホロノミー関手 / 写像類群 / モジュライ空間 / 超幾何積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
位相幾何学の重要な研究対象である組みひも群について反復積分の理論を用いた表現論を構成し，これを用いて，共形場理論におけるKZ方程式のモノドロミー表現が量子群の対称性をもつことを示した．さらに，一般の種数のリーマン面上の共形場理論にあらわれる写像類群の表現を記述し，それを3次元多様体の不変量の構成に応用した．また，KZ方程式の解の多変数の超幾何積分による表示を用いて，KZ方程式のモノドロミー表現と組ひも群のホモロジー表現との関係を明らかにした．この手法をもとにして，KZ方程式が周期積分の満たす微分方程式とみなされることを示した．Temperley-Lieb-Jones圏の射の集合と，Wess-Zumino-Witten理論の共形ブロックの空間の同型を証明し組みひも群の作用が同変的であることを示した．
多様体の基本群の線形表現は，平坦ベクトル束のホロノミー表現と対応するが，この構成を高次圏に拡張する研究を行なった．具体的には，Chenによる形式的接続を用いて，反復積分により，高次のホモトピー亜群の高次圏としての表現に拡張した．高次圏におけるベクトル束の高次ホロノミー理論の確立において進展があった．
研究代表者と研究分担者鈴木正明らが組織委員となって明治大学MIMSにおいて、研究集会"Topology and its Applications to Engineering and Life Science"をオンラインで開催し、研究グループの研究成果の位相的データ解析への応用など多角的な研究交流を行うことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
高次圏におけるベクトル束の高次ホロノミー理論の確立において進展があり，その成果を国際研究集会"Building-up Differential Homotopy Theory 2023 in Aizu"などにおいて招待講演として発表した．高次圏におけるモノドロミー表現としての表現に拡張する理論的な枠組みを構成することができて，2次元ホロノミー関手の理論について反復積分を用いた具体的な構成を行った．このようなトポロジーと数理物理の新手法は、配置空間の幾何学などと関係していることを明らかにし，分野横断的な研究交流において成果があった．
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| Strategy for Future Research Activity |
位相幾何学における離散群の表現論と量子場の理論など数理物理学への応用をテーマとした研究を引き続き行う．共形場理論におけるモノドロミー表現が量子群対称性をもつことの枠組みを用いて，結び目，空間グラフ，3次元多様体などの位相不変量の構成を行い，物質科学，分子生命科学の分野の問題への応用を進める．構成した離散群のユニタリ表現の量子計算への応用について研究を進める．また、ホロノミー表現を高次圏に拡張する研究を遂行する．このようなトポロジーと数理物理の新しい手法はモーションプラニングなど工学の問題とも関係しており，センサーネットワーク，ロボティックスなど応用面の研究を遂行する．このような分野横断的な研究は研究代表者が明治大学先MIMSで実施しいる「トポロジーとその工学，生命科学への応用」についての融合研究プロジェクトと連携して進める．
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