2022 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis on singularities of higher order geometric gradient flows
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21H00990
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三浦 達哉 東京工業大学, 理学院, 准教授 (40838744)
可香谷 隆 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (60814431)
剱持 智哉 名古屋大学, 工学研究科, 助教 (80824664)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 幾何学的発展方程式 / 特異形状解析 / 変分法 / 偏微分方程式論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、昨年度からの継続課題として、以下の課題について成果を得た：
(i) Gross-Pitaevskii固有値問題の解に完全収束するSobolev勾配流の構成
(ii) 曲線拡散流に対する移動境界問題
(iii) 外力項付き平均場方程式に対する分岐問題
(i) は Gross-Pitaevskii固有値問題に対応する汎関数に対する束縛条件付きH1勾配流を構成し、その完全収束を示すことを目的とする課題である。結果として、完全収束を示すために必要となる勾配不等式を証明し、それを利用して完全収束を示すことに成功した。(ii) は平行でない２直線上でそれぞれ端点をもつ開曲線の曲線拡散流による挙動を調べることを目的とする。今年度の研究により、この移動境界問題において適用可能な等周不等式を証明し、それを用いることで問題の時間大域可解性とともに解の完全収束を示すに至った。この結果は現在投稿中である。(iii) は全空間における平均場方程式に外力としてパラメータ付きの速度を付した問題について、そのパラメータに関する分岐問題を考察する課題である。昨年度までの研究により、パラメータに関する閾値が存在し、その閾値まで一意解が存在することを示していた。今年度は、その閾値の近傍において解の一意性が崩れることを証明することに成功した。この結果も論文として纏め、現在投稿中である。
現在は勾配流を用いた一般化等周不等式の拡張や高階版の曲げエネルギーに対する勾配流の構成や臨界点の導出など、新たな研究課題への研究も開始しているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍が収束へと向かい、対面実施による研究集会が開催されるようになり研究環境も整ってきたとはいえ、対面による研究討論が最も重要とも言える数学においては、その影響が完全になくなったとは言い難い。その中でもGross-Pitaevskii固有値問題に付随するH1勾配流の完全収束、曲線拡散流に対する移動境界問題の時間大域可解性と平衡状態への完全収束、外力項付き平均場方程式に対する分岐問題の解の非一意性を示すに至っている。加えて、勾配流を用いた一般化等周不等式の拡張、曲率のDirichlet汎関数とも言えるイデアル汎関数に対するSobolev勾配流の構成など、新規課題の研究も開始している。以上の経緯から、現在までの進捗状況は概ね順調に進展していると判断した次第である。
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| Strategy for Future Research Activity |
コロナ禍が概ね収束してきていることから、国内のみならず海外への出張も可能となってきている。そのため、次年度以降においては、共同研究者のもとに直接赴き対面による研究討論の機会を集中的に確保することが可能となるはずである。加えて、研究集会の開催や参加の機会も増えることが予想される。こういった機会を最大限に利用するとともに、必要に応じて web ツールを取り入れることで研究討論の時間を確保し、本研究課題の進度を加速させることを目指す。研究課題については、当初の研究計画を踏襲しつつ、研究に進展により発見した新たな課題にも積極的に取り組み、本研究計画を多角的に推進する。
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