2021 Fiscal Year Annual Research Report
Global analysis for solution of dispersive partial differential equation with mass subcritical nonlinearity
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21H00993
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
瀬片 純市 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90432822)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
若狭 徹 九州工業大学, 大学院工学研究院, 准教授 (20454069)
眞崎 聡 大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
高田 了 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50713236)
山崎 陽平 九州大学, 数理学研究院, 助教 (70761493)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 関数方程式論 / 調和解析学 / 変分法 / 分散型方程式 / 流体方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者(瀬片)および研究分担者(眞崎)はJason Murphy氏とともに, 空間3次元において線形ポテンシャルおよび3次のべき乗型非線形項をもつ非線形シュレディンガー方程式(NLS)の解のダイナミクスを, 対応するシュレディンガー作用素が負の固有値を1つもつ場合に考察した. この場合, 負の固有値から小さな基底状態が分岐するとともに, ポテンシャルのないNLSの基底状態の摂動として第一励起状態も現れる. 本研究では質量が小さく第一励起状態のエネルギーよりも小さいエネルギーを持つ解について, 時間大域挙動が散乱と爆発の2種類に分類されることを解明した. また, 空間1次元で3次の非線形項をもつある非線形シュレディンガー連立系の解の長時間挙動について考察し, 解の漸近形に位相部分だけでなく, 振幅部分にも非線形項の影響による修正項が現れ, 解の時間減衰が対数オーダーや代数オーダーで遅くなることを解明した. 研究分担者(若狭)は菅徹氏(大阪公立大)とともに不連続境界条件を持つChafee-Infante問題を考えた. 特に2次分岐問題を楕円関数により定式化したとともにその解析方法を整備した. 研究分担者(高田)は, 3次元層状領域における回転Navier-Stokes方程式の初期値問題を考察し, スケール臨界なSobolev空間における時間大域的適切性を証明した. また回転速度を無限大とする特異極限において，同方程式の時間大域解が2次元Navier-Stokes方程式の時間大域解に収束することを証明した. 研究分担者(山崎)は, 前田昌也氏(千葉大学)とともに空間3次元の非線形シュレディンガー方程式の不安定な定在波に対し, 定在波周りの線形化作用素がinternal modesを持つ場合に中心安定多様体を構成した. またその多様体上の解の漸近挙動についても解明した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
空間3次元において線形ポテンシャルおよび3次のべき乗型非線形項をもつ非線形シュレディンガー方程式に対して, 対応するシュレディンガー作用素が負の固有値を1つもつ場合に, 質量が小さく第一励起状態のエネルギーよりも小さいエネルギーを持つ解のダイナミクスを考察したが, 既存の研究で課されていた初期値の球対称性を取り除くことができた. また, 空間1次元で3次の非線形項をもつ非線形シュレディンガー連立系に対しては, 解の漸近形を特徴づけるlimit ODEとよばれる常微分方程式を解析することで, スカラーの場合に現れなかった興味深い挙動を持つ解を捉えることができたなど, 本研究課題に関する問題でいくつかの進展があった.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策として以下の4つを挙げる.
(1)ポテンシャルつき非線形シュレディンガー方程式, 一般化Korteweg-de Vries (KdV)方程式といった非線形分散型方程式に対し, 特徴的な解のまわりにある解の挙動について調べる. 特に, 研究代表者 (瀬片) および研究分担者 (眞崎)は質量劣臨界の場合に最小非散乱解のまわりにある解の解析を, 研究分担者 (山崎)は質量優臨界の場合に(不安定な)ソリトンのまわりにある解の解析を行う.
(2) 研究代表者 (瀬片)および研究分担者 (眞崎)は, 長距離型非線形項をもつ非線形シュレディンガー方程式や非線形クラインゴルドン方程式のシステムの解の長時間挙動を, 解の漸近形がみたす常微分方程式を詳細に調べることで解析する.
(3) 研究代表者 (瀬片) 及び研究分担者 (若狭) は, 非線形分散型方程式の解の長時間挙動について, 反応拡散方程式の手法を援用することで解析を行う.
(4) 研究分担者(高田)は, 振動積分等の調和解析学を駆使した大域解析によって, 地球流体の基礎方程式に対する解の長時間挙動を考察する.
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