2021 Fiscal Year Annual Research Report
Topics in exponential mixing of Anosov flow and quantum chaos
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21H00994
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
辻井 正人 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20251598)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 力学系 / エルゴード理論 / 転送作用素 / 指数混合性 / カオス / 双曲力学系 / アノソフ流 / 部分双曲力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
諸科学において時間発展する系は「力学系」という数学的対象で記述されます。力学系の中には系自体は単純であるのに、その時間発展は複雑で予想不可能になる場合が多くあることが現在ではよく知られていて、「カオス」と呼ばれています。「カオス」をどのように記述し、解析するかは力学系理論において最も重要な課題の１つです。本研究は「カオス」の中でも最も典型的なアノソフ流に対し理論的で精密な解析を行います。少々不思議なことですが、その研究の中には量子力学との類似が発見され、多くの研究者の興味を惹くことで現在関連する研究が盛んになっています。本研究はその中で主導的な役割を果たすことを目指します。
研究の初年度においては以下の点について研究を行いました。
１）アノソフ流について強いカオス的性質「指数混合性」と関連する事項について研究をしました。前年度から続くZhiyuan Zhang氏（CNRS）との共同研究では、３次元の場合には可積分条件が成り立たない場合には常に指数混合性が成り立つことを成果として得ました。今年度はより一般の３次元部分双曲力学系や高次元の場合についてZhang氏と共に研究を進めました。特に３次元のアノソフ流の時間１写像の摂動についての結果を得て、論文を準備中です。
２）アノソフ流の転送作用素に関する準古典解析の視点からの研究をFrederic Faure氏（Fouire Institute）と１０年以上にわたって続けていますが、その成果として２本の長編の論文を執筆し、最初の論文については査読の結果を反映して改訂版を再投稿している段階です。
３）これまで双曲もしくは部分双曲力学系の解析を主に取り扱ってきましたが、新たに「転送作用素の解析」という視点から新しい（より一般の）力学系のクラスにアプローチするというアイデアを得て、研究を始めました。このアイデアについて２本の論文を書きました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究計画の基本的な部分については順調に進んでいる。特に海外の研究者（Zhiyan Zhang, Frederic Faure）との研究活動をコロナ禍の下でもメールやZoomを使った議論等で継続し、研究を順調に進めることができた点は成果と言える。一方、研究成果について議論したり、国内外の研究者と交流する機会が制限されたことは残念であったので、予算を翌年度に繰り越すことで、国内の研究集会での発表及び研究集会の開催に使用した。加えて、転送作用素の解析の視点から新たな（より一般的な）力学系のクラスを設定し、それらについて性質や分岐を研究するという新たな方向性を着想し、研究を開始したことについては当初の想定を上回る成果と考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは本年度の研究で得られた成果を国内外の研究集会で発表し、多くの研究者と議論を重ねることで新たな研究の方向性を考えたい。また、その方向性の一つとしてVirtually expandind dynamics という、拡大力学系を含むより広いクラスの力学系について、転送作用素の（超局所）解析の観点からは拡大力学系の場合と同じように取り扱うことができ、かつ、その分岐まで含めて数学的に精密に議論できるという点は大変興味深いと考える。力学系やエルゴード理論の若手研究者を巻き込むことで本研究計画を超えた大きな研究課題としていきたいと考える。
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