2022 Fiscal Year Annual Research Report
精度保証付き数値計算の前進---有限と無限をつなぐもの---
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21H01000
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
木下 武彦 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (30546429)
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 射影誤差評価 / 線形作用素の可逆性 / 非線形偏微分方程式 / 有限要素法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
・流体の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に特別な外力項を課したKolmogorov問題に対し、解の存在検証において重要な役割を果たす無限次元空間の最大値ノルムをほぼ最適に評価する手法を提案し、研究成果を公開した。また、得られた最大値ノルム評価を用いてKolmogorov問題の解の存在検証領域精度の大幅な改善に成功した。
・2階楕円型作用素において得られた前年度の成果を拡張し、ヒルベルト空間における無限次元線形作用素の可逆性と逆作用素ノルムを数学的に厳密な意味で検証する新しい精度保証付き数値計算アルゴリズム構築を行った。また、手法を4階楕円型作用素、非線形波動方程式から得られる特異性を持つ微分作用素を含め様々な線形作用素に適用し、その有効性を実証した。
・2階楕円型線形作用素の可逆性の検証と逆作用素ノルムの精度保証付き評価に対する研究成果として、適切な仮定のもとで、逆作用素ノルムの有限次元一様近似が収束することを理論的に明らかにし、研究成果を公開した。また、具体的な収束オーダー評価および一般化への検討を行った。
・Navier-Stokes方程式に関連したProudman-Johnson方程式に対し、解を包含する無限次元集合の射影に相当する有限次元部分を区間係数と基底関数の一次結合で表現することにより、精度保証付き数値計算を効率化した。また、Kolmogorov問題の最大値ノルム評価の知見を活かした効果的な最大値ノルム評価を定式化に組み込んだ。結果として、従来達成することができなかった高レイノルズ数における解の計算機援用証明に成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究分担者および海外共同研究者との連携の結果、研究計画に沿った形で順調に進展していると判断します。コロナ禍により海外共同研究者の招聘が昨年度に引き続き叶わなかったものの、可能な限りの代替手段を用いて意思疎通を図りました
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| Strategy for Future Research Activity |
研究年度2年目においても、昨年度に引き続き、それぞれの研究において得られた成果を踏まえ、更なる手法の改良と応用・展開に向けての見通しを立てることができました。また研究を遂行する上での課題の洗い出しも一部対面での研究打合せによって行うことができました。その成果を踏まえて更なる研究課題の推進を行いたいと考えています。
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