2021 Fiscal Year Annual Research Report
Development of mathematical and computer-assisted analysis towards comprehensive description of finite-time singularities
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21H01001
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
松江 要 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (70610046)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 有限時間特異性 / 力学系 / 微分方程式 / 精度保証付き数値計算 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
常微分方程式の爆発解で、初期値の摂動に対して不安定になるもの：「サドル型爆発解」の精度保証付き数値計算法を構築し、その理論をまとめ上げた。爆発時刻の解析的構造が地平線上の不変集合の安定多様体の幾何学的構造に遺伝する事、爆発時刻の分布が力学系的特性に強く依存しないこと、爆発時刻がサドル型爆発解を横切るときに不連続に変化しうることを例示した。
他にも、爆発解の漸近挙動につき、爆発レートの続き：爆発解第2項以降を具体的に計算する方法を考察した。様々な例を用いて計算し、「釣り合いの式」と呼ばれる非線型方程式と、その根における線型化行列である「爆発ベキ決定行列」を導入し、それにより原理的に全ての項を計算できることを見出した。
他にも時間遅れの微分方程式における爆発解のメカニズムの一つを導出したり、複素時間を有する偏微分方程式の時間大域解の精度保証付き数値計算を実践したり、それを用いて爆発解の存在を示唆する考察を行なった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
力学系、偏微分方程式を含む無限次元発展方程式、精度保証付き数値計算など、様々な方向から爆発解を含めた有限時間特異性の構造を抽出するという目標は一貫しており、少しずつではあるが確実に各々の目標に向けた結果が出ている。力学系からのアプローチは当初の目的から外れたり、予想外の結果が生じたりしている。
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| Strategy for Future Research Activity |
爆発解の複数項漸近展開の正当化と、共通メカニズムを抽出し、様々な問題に応用できるようにする。
時間遅れを持つ微分方程式や、準線型偏微分方程式の爆発解の漸近挙動の解析を精緻化する。
空間3次元の偏微分方程式の時間大域解を現実的な時間で精度保証付き数値計算できるようにするための時間発展ソルバーを開発する。
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| Remarks |
本研究課題の活動や成果をまとめたホームページを公開している。
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