2022 Fiscal Year Annual Research Report
Singularity theory in mixed characteristic and its applications to the theory of F-singularities and birational geometry
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22H01112
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田中 公 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50724514)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70634210)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 川又対数端末型特異点 / 乗数イデアル / 判定イデアル / 純射 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
山口樹氏（東京大学）との共同研究において研究代表者は、正規複素代数多様体の間の純射（普遍単射）f:Y→X が与えられたとき、双有理幾何学に現れる特異点が Y から X に伝播するか調べた。Ziquan Zhuang は、Y が川又対数端末型特異点しか持たなければ、X も川又対数端末型特異点しか持たないことを証明した。この論文内でZhuangは、この結果を因子との対の場合に拡張できるか、問うている。山口氏と私は、この問いに完全な解答を与えた。つまり、D を X 上の有効 Q-Weil因子とし、E を D の f によるサイクル理論的引き戻しとしたとき、対 (Y, E) が川又対数端末型であれば、対 (X, D) も川又対数端末型であることを証明した。証明のキーとなるのが、BCM判定イデアルである。複素数体上本質的有限な局所整域 R が与えられたとき、R の標数 p への還元 Rp の絶対閉包の素数 p 全体をわたる超積 B(R) はBig Cohen-Macaulay (BCM) 代数になることが、Hans Schoutensによって証明されている。山口は、R が Q-Gorenstein環の場合に、この B(R) に付随するBCM判定イデアルが R の乗数イデアルと一致することを証明した。この山口の結果を一般化することで、主定理が得られる。
研究分担者の田中は、非代数閉体上の２次元楕円特異点について研究し、代数閉体上で知られている多くの結果を非代数閉体に拡張することに成功した。もう一人の研究分担者の權業は、ここ数年取り組んでいた向井型予想の研究の一部をまとめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の目的は、Karl Schwede, Linquan Maによって導入された混標数の特異点論をさらに発展させ、双有理幾何学の様々な問題に応用することであった。彼らの理論において中心的な役割を果たすのがBCM判定イデアルであるが、このイデアルが等標数0の場合にどのようなものであるかはよくわかっていなかった。今回の研究で、適切なBig Cohen-Macaulay代数を考えれば、BCM判定イデアルは乗数イデアルと一致し、川又対数型特異点の研究に応用できることがわかったのは大きな進展である。成果は着実に得られており、研究は順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
純射における極小モデル理論に現れる特異点の振る舞いに関する研究を継続する。正規複素代数多様体の間の純射f:Y→XとX上の素因子Dが与えられたとき、EをDのfによるサイクル理論的引き戻しとすると、Zhuangは(Y,E)が純対数端末型であれば(X,D)も純代数端末型であることを証明している。この結果の一般化を考える。BCM判定イデアルの定義を一般化することで、随伴イデアルと一致するイデアルを構成できると考えられる。このイデアルを利用して、上記問題に取り組む。また、対数標準特異点の場合についても研究する。
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