2022 Fiscal Year Annual Research Report
Analogues of the Weierstrass representation formula and extension problem of submanifolds at their singularities
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22H01121
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梅原 雅顕 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90193945)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 特異点 / 解析的延長 / ワイエルストラス型表現公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ある種の平均曲率一定な曲面のクラスは解析的延長を持つ場合がある．３次元ド・ジッター空間の，特異点を許す定平均曲率１の曲面のクラスはそのような例の一つであり「カテノイド」と呼ばれる単純な具体例たちにも拡張をもつものが存在することが,代表者らにより指摘されていた．本課題では，拡張された曲面がさらなる拡張を持たないという「解析的完備性」の概念を与え，具体的に与えられた曲面のクラスの解析的完備性を示すことを目的としていた．2022年度は，適切な完備性の定義を行い，さきに挙げたカテノイドのうち，錐的特異点を持つものについてその解析的完備性を示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般の曲面，さらには実解析的多様体の部分集合の「解析的完備性」の概念の定義に難航しているが，解決の緒をつかみつつある．
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| Strategy for Future Research Activity |
実解析関数の零点集合は解析的拡張をもたないが，われわれの目的にはもう少し弱い概念が必要である．実際，解析的拡張をもたない例でも実解析的関数の零点集合の真部分集合となる場合があるので，そのような例に適用可能な完備性の概念を整備する．
カテノイドの解析的完備性が示された後は，このような概念が適用できるさらなる例を，ド・ジッター空間の曲面から，それ以外の対象から構成する．
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