2023 Fiscal Year Annual Research Report
Mathematical approach to 2 phase problem in unbounded domains and an extension of its approach to the theory of quasilinear parabolic equations
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22H01134
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
柴田 良弘 早稲田大学, 理工学術院, 名誉教授 (50114088)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
齋藤 平和 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 准教授 (30754882)
久保 隆徹 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 准教授 (90424811)
村田 美帆 静岡大学, 工学部, 准教授 (90754888)
渡邊 圭市 公立諏訪東京理科大学, 工学部 共通・マネジメント教育センター, 講師 (30875365)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 最大正則性原理 / Navier-Stokes方程式 / 自由境界問題 / 時間大域解 / 時間周期解 / Q-tensor model / 電磁流体方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
R-有界性とde Leeveのmultiplier theorem を組み合わせることにより, 境界が時間周期的に運動する外部領域でのNavier-Stokes方程式の時間周期解の一意存在定理を示した. この方法による時間周期解の存在証明はこれまで全く知られていない画期的な方法で多くの応用が期待される.
密度が均一でない場合の非圧縮性粘性流体に対する2相流を非有界領域において考察した.初期時刻において、一方の流体が上半空間、他方がした半空間を占めており、それらはシャープな界面により分離されている場合を扱った. Lp-Lq最大正則性と２相ストークス半群の時間減衰評価を用いることで、時間大域的可解性および解の長時間減衰定理を示した.
ネマティック液晶の分子の運動を表す方程式のひとつとして知られるQ-tensor モデルに対し, コーシー問題の時間大域解の一意存在と長時間挙動を示した. さらに半空間において非斉次境界条件の下，R-有界性理論を用い，線形化問題のLp-Lq最大正則性を示し，非線形問題の時間局所解の一意存在性を得た．
Navier-Stokes方程式の非有界領域での解析に関するモデル問題として半空間での自由境界問題を考え, Lp-Lq最大正則性原理を用いた時間大域解の一意存在定理と解の長時間挙動を示した. また線形化問題の L１最大正則性原理を値をBesov空間にもつ関数クラスで示した. さらにこれを応用してNavier-Stokes方程式の半空間における自由境界問題の時間大域的解の一意存在と解の長時間挙動を示した.
電磁流体方程式の２相問題に対し、その線形化問題に関するLp-Lq最大正則性原理を確立しこれを応用して, 非線形問題の時間局所解の一意存在を示した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Navier-Stokes方程式研究においては、L_p-L_q最大正則性とtransference 理論を組み合わせることにより, Stokes方程式の時間周期解の最大正則性原理を示し, これを応用して境界が時間周期的に運動する外部領域においてNavier-Stokes方程式の時間周期解の一意存在を示した. また非有界領域での2相問題に関し時間大域解の一意存在と解の長時間挙動の研究に成功した. 以上2つのNavier-Stokes方程式に対する結果は研究計画段階での想定を十分満足させる結果である.
液晶問題のQ-tensorモデルの時間大域解の一意存在定理をコーシー問題の場合に示した. さらに半空間のModel問題においてその線形化問題に対するレゾルベント問題の解のLq評価を行った. Q-tensorモデルは液晶問題の基礎方程式であるが, あまりに複雑なため境界条件がついている本来の問題に関して全く結果がなかった. 本研究でその第一歩を踏み出すことができた. これからは研究が飛躍的に発展する可能性が十分大である.
Navier-Stokes方程式の半空間における時間局所解の一意存在と時間大域解の一意存在をLp-Lq最大正則性原理の枠組みと L1-B^s_{q,1}最大正則性原理の枠組みで示した. これは予定をはるかに超える結果である. 特にL1理論は研究計画時点では予定していなかった成果であり, 現在の世界的流行の頂点に立つことができた.
電磁流体の２相問題に関する Lp-Lq最大正則性原理を基盤とした時間局所解の一意存在定理を確立した. 24年度は時間大域解の一意存在定理の証明に発展させる. ここでは空間のトポロジーに線形化問題の解の長時間挙動が大きくかかわるが、この解明の手掛かりとしてのHelmholtz 分解について新しい知見を得ている.
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| Strategy for Future Research Activity |
圧縮性粘性流体の運動を記述するNavier-Stokes-Fourier方程式, およびNavier-Stokes-Korteweg方程式の線形化問題のL1最大正則性原理を半空間のモデル問題において示す.
非圧縮性粘性流体の運動を記述するNavier-Stokes方程式のL1最大正則性原理を一般領域で示す.
電磁流体方程式の線形化問題のL1最大正則性原理を半空間のモデル問題において示す.
電磁流体方程式に対する１相問題、２相問題の局所解の一意可解性を示す. さらに時間大域解の一意可解性を空間のトポロジーとの関連において示す.
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