2012 Fiscal Year Annual Research Report
現代解析学と計算科学の手法による乱流の数学的理論の構築
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24224003
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Grant-in-Aid for Scientific Research (S)
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
金田 行雄 愛知工業大学, 工学部, 教授 (10107691)
中村 誠 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70312634)
芳松 克則 名古屋大学, 工学(系)研究科(研究院), 助教 (70377802)
隠居 良行 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (80243913)
久保 英夫 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50283346)
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| Project Period (FY) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| Keywords | Navier-Stoeks 方程式 / Euler方程式 / Betti数 / 回転流体 / 乱流の普遍原理 / ウェーブレット解析 / 線形応答理論 / エネルギースペクトル |
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| Research Abstract |
まず，多重連結領域において，与えられた非斉次境界値の全流量がゼロである場合，定常Navier-Stokes方程式の可解性は未解決である．この問題には領域の位相幾何学的な性質と方程式の非線形構造が深く関係している．実際，境界値のソレノイダル拡張から一意的に定まる領域の第２Betti数に関連する調和ベクトル場と，定常Euler方程式の非自明解との直交関係が可解性の鍵を握る．ここで方程式が可解であるための様々な十分条件を導出し，有名なLerayの不等式と領域の位相幾何学的な性質との関係を明らかにした．
次に，3次元空間において障害物が回転し，かつ回転軸と同じ方向に並進運動する場合に，その外部領域においてNavier-Stokes 方程式の定常解の存在と一意性を考察した．
また乱流の情報縮約手法の開発に関しては，直交ウェーブレット解析を応用して, 三次元一様電磁流体乱流の情報縮約手法を開発した. 非線形ウェーブレットフィルタリングにより渦度場及び電流密度場からそれぞれ秩序渦度場と秩序電流密度場を抽出した. 抽出された場の時間発展を捉えるために, 秩序場を構成するウェーブレット基底の近傍にセーフティゾーンを設定した. この一連の操作を各時刻で行った. 開発手法は元の乱流場の約6% の自由度を用いるだけで,エネルギー, エネルギースペクトル, 渦度場及び電流密度場の確率密度関数など乱流場の統計量の時間発展を十分再現する.
せん断乱流における統計的普遍性については，小さなスケールにおける乱流の統計に対する平均流の影響についての理論を導いた，その理論は熱平衡系に対する線型応答理論と良く似た理論構造を持つものである．その結果を検証するため，壁レイノルズ数Reが5120におよぶ世界最高レベルのレイノルズ数を持つ壁乱流のDNSデータを用いて乱流のエネルギースペクトルの等方成分，非等方成分を解析した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
調和解析学および特異極限と有限性の影響評価，乱流のもつ普遍的法則性の解明，情報縮約手法，予測可能性，信頼性評価の3研究課題については，専門誌への掲載論文数そのレビューから見て，一定の評価を得ているといってよい．
特に，数学解析研究班，計算科学研究班双方とも，渦度の集中と特異点の発生の解明について顕著な研究成果を挙げている．大規模流れのモデル解析については，平成24年度は研究に着手することは出来なかった．様々な簡素化したモデル方程式系のヒエラルキーを考察することが課題として残された．
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| Strategy for Future Research Activity |
数学解析研究班においては，研究集会においてより多くの成果を挙げるために，国内研究者を定期的に早稲田大に招聘し, 綿密な研究連絡をとりたい．また，研究の進捗状況を評価し，場合によっては共同研究を期待できるP.Constantin（Chicago大），G.Sergin(Oxford 大)，R.Krasny(Michigan大)との連携を試みる．
計算科学研究班では，本研究課題である「乱流のもつ普遍的法則性の解明」，「情報縮約手法，予測可能性，信頼性評価」については，たとえば，(i) 乱れの境界面の挙動，(ii) ウェーブレット解析，(iii) 乱流エネルギーの減衰則について，それぞれ J. Hunt(London大)，M. Farge（Paris-ENS），P. Davidson(Cambridge大)等の研究者との協力を得て現在研究を推進しており，今後さらに連携を強める．
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