2014 Fiscal Year Annual Research Report
現代解析学と計算科学の手法による乱流の数学的理論の構築
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24224003
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
金田 行雄 愛知工業大学, 工学部, 教授 (10107691)
久保 英夫 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50283346)
中村 誠 山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
芳松 克則 名古屋大学, 学内共同利用施設等, 准教授 (70377802)
隠居 良行 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (80243913)
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| Project Period (FY) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| Keywords | Navier-Stokes 方程式 / 指数漸近安定 / Leray-Fujita の不等式 / 周期解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般化された流量条件下における定常Navier-Stokes 方程式の大きな弱解の安定性について考察した．3 次元の内部領域における定常解が安定であるための必要十分条件は，その定常解を低階の項にもつ摂動Stokes 作用素の固有値の実部がすべて正であることが古くから知られている(Sattinger)．しかし，与えられた境界値や外力の条件によって対応する定常解の安定性を論じた結果は少ない．本研究では，多重連結領域において与えられた境界値がLeray-Fujita の不等式を満たし，不等式を実現する境界値のソレノイダル拡張ベクトル場に定常解がL3-ノルムの位相で十分近いならば，安定であることを示した．ここで重要なことは，定常解自身は小さい必要なことである．応用として2 次元の剛体運動，3 次元調和ベクトル場の境界への制限によって決まる定常流は，指数漸近安定であることが明らかになった．
更に回転座系におけるNavier-Stokes 方程式の周期解の存在とその漸近安定性を明らかにした．3 次元Euclid 空間において鉛直方向の座長軸が回転するとき，周期的な外力を与えたならば同じ周期をもつ強解が存在するか？という問題に取り組んだ．実際，周期的な外力が十分小さいならば，同じ周期を持った強解が存在することを証明した．またそのような周期的強解は小さな初期擾乱に対して時間漸近安定であることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
流体力学の基礎方程式は加速度が速度場に関する時間微分ということから，流れ場に沿う微分というラグランジェの考え方によれば，本質的に非線形偏微分方程式である．数ある非線形偏微分方程式の中で，ナビエ・ストークス方程式の数理解析は，現代解学の中心的なテーマと言える．本研究の数学解析研究班では，偏微分方程式論の基本的な課題である解の存在，一意性，データに対する連続依存性といった適切性から出発し，時間漸近挙動に代表される安定性について世界をリードする成果を挙げていると言えよう．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究集会においてより多くの成果を挙げるため 国内研究者を定期的に早稲田大と名古屋大に招聘し，綿密な研究連絡をとる．実際、以下の様な研究組織班を構成し、本課題の研究分担者 が責任者となる。① 非線形波動分散型方程式研究班（担当：中村，久保）
end point Strichartz's estimate とI-method の研究をおこなう．② 実関数論研究班（担当：小薗，隠居） Besov空間、Triebel-Lizorkin空間における積公式を基礎に，流体力学の基礎方程式を研究する．流体特有の非線形項の構造とそれに適した関数 空間の選択の相関について考察する．特に，この分野の世界的権威であるR.Danchan （仏）、M.Hieber（独）両教授を招聘する．③ 乱流の統計理論と数理解析研究班（担当： 金田，芳松）本研究の課題である流体力学の基礎方程式の数 学理論を現場の流体力学への展開を目指す．さらに，流体力学の種々のモデルから数学に新たに研究テーマを与えるものをより厳密に定式化する．乱流のダイナミックスに内在する数理構造をナビエ・ストークス方程式の解析的な解と直接数値シミュレーション（DNS）データとの比較検証を行うことによって解明する．
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