2013 Fiscal Year Annual Research Report
流体現象のマクロ構造とメゾ構造解明のための解析理論の構築
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24224004
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
柴田 良弘 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50114088)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田端 正久 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30093272)
吉村 浩明 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40247234)
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| Project Period (FY) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| Keywords | R-有界性 / 安定性解析 / 確率解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
【混相流の研究】気体・液体の2相問題に関する数学的な定式化を行い、数学的に厳密に扱うの第一段階として、界面において表面張力がない場合の線形化問題を考え、線形化方程為式の一般化レゾルベント問題についてＲ有界な解作用素を求めた。さらに一般領域のこれを拡張し、一般領域でのＲ有界な解作用素の存在を示した。また、これとL.Weisの作用素値フーリエ積分作用素の有界性定理を用いて、時間発展問題のLp－Lq最大正則性原理を示した。この応用として、時間局所解の一意存在を示す事に成功した。またナヴィエ・ストークス方程式に対する安定化特性曲線有限要素スキームを提案し、安定性と誤差評価を与えた。またこれを応用し上記の気体・液体2相問題に対する数値シミュレーションを行った。これらの研究により、気液2相流の数学解析研究に新展開を与えることが出来た。
【流の安定性の未解決問題の解決】非圧縮性粘性流体方程式の自由境界問題および圧縮性粘性流体の表面張力が無い場合の自由境界問題の線形化問題に対応するレゾルベント問題の解析を行い、特に有界領域において初期値が剛体運動に直交する場合に解析半群が指数減衰することを示し、これを応用して有界領域での非線形問題の時間大域的解の一意存在を示した。
【メゾレベルからの粘性流体の運動方程式の導出】
・キャビテーション問題に関連し、気液2相流のモデル方程式の解の挙動解析を行った。全ての初期値に対し時間大域解が存在し、非粘性であれば周期解となっていること、粘性があれば任意の初期値に対して唯一の平衡点へ漸近することなどを示した。また系にノイズを入れた際も、適当な条件下でノイズがない場合と同様の結果を得た。
・流体や非ホロノミック拘束を受ける剛体の力学に関連して，advective パラメータを含むリー群上のラグランジアンからオイラー・ポアンカレ簡約の理論をディラック構造の枠組みに拡張した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
【混相流の研究】【流の安定性の未解決問題の解決】
粘性条件に対してある仮定をおいてL2枠内での、I. Denisova（ロシアアカデミー）による
先行研究がこれまであった。しかしこの先行研究による粘性条件の仮定は通常の水とその中の気泡の運動を記述するような典型的な場合を含まず、我々が目指すキャビテーション問題を含む気液2相流体の数学的解明には至るものではなかった。この条件を取り除くことが長年の懸案であったが、本研究でそれを解決することが出来た。研究当初の目的を達成するものである。さらに流速の属するクラスは、Lp－Lq最大正則性原理の成立するクラスであり、指数pとqが異なる場合も含み、Solonnikov等のロシア学派のL2枠をはるかに超える一般的な結果を与えた。また証明方法も従来のロシア学派のものとは全く異なるより一般化されたものである。さらに指数pとqが異なる場合にできたことは、将来時間大域的解の存在を示すための第一歩を踏み出す研究であり研究目標を達成している。
【メゾレベルからの粘性流体の運動方程式の導出】
キャビテーション問題を念頭に置いたモデル方程式の解の漸近挙動の研究を行ったがこれは、キャビテーションの実験研究を進展させるために役立った。また確率項を数学的に厳密に導入する方法のヒントも得た。これは来年度の研究につながる。また大域幾何的な観点からの確率項を含む方程式の導出につながる研究もできた。
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| Strategy for Future Research Activity |
【混相流の研究】【流の安定性の未解決問題の解決】
1相問題、2相問題の研究をＲ有界な解作用素を線形化問題に用いる方法をさらに発展させ、表面張力を考慮した場合、圧縮性粘性流体の場合などへと発展させる。またこれに応じた数値解析の方法を発展させる。
【メゾレベルからの粘性流体の運動方程式の導出】
キャビテーション問題の数学的解析は実験のレベルからの要請により、確率項を導入する必要がある。確率項を導入するための数学的に厳密な方法をトップダウン的に確立し、さらに実験結果と合わせる。
【会議等】2014年度6月、3月に日独共同大学院プログラム、11月にCREST研究のまとめの国際研究集会を早稲田で主催し、非線形偏微分方程式、数値解析、大域幾何学、モデリングの面を総合した流体数学の研究・教育を推進していく。またヨーロッパ連合フラックスでポーランドアカデミーと研究協力を行い、ナヴィエ・ストークス方程式の時間大域的な解の存在定理や、多成分流体の研究をあらたに展開する。
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