2015 Fiscal Year Annual Research Report
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24244002
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
今野 一宏 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10186869)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大渕 朗 徳島大学, その他の研究科, 教授 (10211111)
徳永 浩雄 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (30211395)
小木曽 啓示 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40224133)
臼井 三平 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (90117002)
足利 正 東北学院大学, 工学部, 教授 (90125203)
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| Project Period (FY) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| Keywords | 退化族 / 局所不変量 / Zariski対 / 楕円曲面 / 自己同型群 / ホッジ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数曲線束をもつ非特異射影代数曲面を主な研究対象として，その垂直方向・水平方向の曲線の研究を文字通りの縦糸・横糸として，射影代数曲面の幾何構造を多角的に研究した．研究代表者や分担者によって得られた研究成果は以下の通りである．
1) 非特異曲線をサポートにもつような重複ファイバーについて，重複度，ゴナリティー，標準系の基点の関係を考察し，超楕円的な場合とトリゴナルな場合に明示的な特徴付けを得た．2) 高次元連分数と巡回商特異点および Fourier-Dedekind 和に関する論文をまとめた．また，種数３ファイバー芽のHorikawa指数による分類について，モジュライ写像と局所符号数を経由する方法で一定の成果を得た．3) 有理楕円曲面の整数点の具体形およびその平面代数曲線のトポロジーへの応用について研究を行い成果を挙げた．4) 正のエントロピーをもつ原始的正則自己同型を有する複素4次元かつ滑らかな有理多様体, カラビ・ヤウ多様体, 射影的超ケーラー多様体, アーベル多様体の存在を初めて示した．5) 二重被覆型のワイアシュトラス点を持つ代数曲線について，それが実際に二重被覆になる十分条件を与えたTorresの定理の拡張した．また Dolgachev-Iskovski の理論に基づき，代数曲線の特異点を有しても良い平面モデルについて，その自 己同型が平面クレモナ変換 から起こされる場合について幾つか計算を行った．6) 加藤・中山・臼井の共同研究により，混合ホッジ構造の分類空間の様々な部分コンパクト化相互の関係を記述した基本図式を完成させて論文を投稿し，arXivにも掲載した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
代数曲線束を持つ複素曲面上の垂直方向の曲線について，非特異曲線をサポートとする重複ファイバーは原子ファイバーの典型的な例である．そのようなファイバーを有する代数曲線速について，低種数の場合のみではあるが局所不変量，標準線形系の基点，重複度の関係が明らかになった．また，水平方向の曲線である楕円曲面の２重切断については，ガロア被覆の構成問題への応用を経て２次曲線から成る新しいザリスキ組を見出すなど，著しい成果を挙げることができた．これらのことから，本研究課題は概ね順調に進展していると結論する．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究組織は引き続き，研究代表者に研究分担者5名（足利，徳永，大渕，小木曽，臼井）と連携研究者4名を加えた総勢10名による研究体制を基本とする．担当する課題や地理的条件に応じたゆるやかなグループ分けに従って研究を分担して進め，研究代表者がそれを統括する．
モーデル・ヴェイユ格子については，構造が良く知られている有理楕円曲面を出発点として，関数体上の曲線である生成幾何ファイバーの加法とファイバー曲面の切断の幾何学的関係の研究を，昨年度に引き続き今年度も推進する．
本研究の深化を図ることを目的として，研究初年度の平成２４年度から，首都大学東京の秋葉原サテライトキャンパスにおいて「代数曲面論ワークショップ」を企画・開始した．昨年度末までに合計１２度の会合を開いている．今年度は開催地を高知，鹿児島など全国に拡大し，集会の定期的な開催を継続する．また，関連する国内外の研究集会へ研究協力者を派遣して，積極的に情報収集を行う．
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