2015 Fiscal Year Annual Research Report
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24244004
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小谷 元子 東北大学, 理学研究科, 教授 (50230024)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 幾何学 / 離散幾何学 / スペクトル解析 / スピン系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
物性物理における基本的な性質を離散距離空間の幾何学、スペクトル幾何学、非可換幾何学、トポロジーの知識を適用することでより深く理解し、量子スピン系の離散幾何解析学を展開することを目的とした。
研究代表者 小谷を中心に、分担者 熊谷隆、塩谷隆、連携研究者 尾畑伸明、楯辰哉、宮岡礼子と緊密に連絡を取りつつ研究を進めた。量子スピン系の中心的課題である、トポロジカル絶縁体に関わる数学的理解を深め、特にランダムポテンシャルのある場合の界面流を非可換K理論を用いて記述した。さらに非常に一般的な枠組みでのバルク・エッジ対応の機構をK理論のGysin写像により説明した。これらの結果を国際会議の講演及び論文として発表した。また、物性物理学者と数学者が参加する国際研究集会、ミニワークショップ、勉強会を開催した。特に、周期性を仮定しないdisorder系への拡張への方向性を見出したことは有益であった。低次元電子系に関しては、カーボンネットワークの構造と機能の相関を理解するために、カーボンネットワークを3分岐周期グラフととらえ、幾何学的量を定義し、物性との相関関係の評価をおこなった。このために、曲面論の離散可として３分岐グラフの曲面論を構築し、基本形式、面積変分公式、曲率、平均曲率などを定義した。また、離散曲面の背後にある連続曲面を見出すために、ゴールドバーグ・コクセタ細分を用い、与えられた曲面の細分化列の収束理論を構築した。トポロジカル欠陥の周りの収束速度が遅くなることを利用し、トポロジカル欠陥を抽出することができた。量子ウォークは、昨年度に楯氏により一般的な定式化が提案されたが、これを更に発展させ結晶格子の量子ウォークに関する研究、特に局在化の条件の特定を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
いくつかの研究会や発表会を開催し、物性物理の最近の進展や問題意識についての理解を深めることができた。その結果、特に、非可換幾何学を用いることにより、無秩序系への拡張ができ、数学的にも物性物理にとっても興味深い成果が得られて国際研究集会での招待講演や論文として発表した。 数学だけではなく、材料科学や化学の国際研究集会にキーノート講演者として招待された。また、低次元電子系に関する物性物理から刺激を受け、離散曲面の新理論を構築できた。数学的な問題を提起し、離散幾何解析を展開することになった。数学を用いた物性物理の展開に関する萌芽的論説を発表し、１０００以上のViewを得ている。当初予想した以上に、２つの領域の双方に興味ある研究成果が得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
低次元系としてカーボンネットワークの幾何学を確立することができた。離散曲面上のランダムウォークの収束定理（中心極限定理）によって、どのような連続拡散過程が現れるかを調べること、またそのスペクトル理論と第一原理計算による電子物性を比較することは興味深い。これにより、低次元系の電子物性を、第一原理計算などの重たい計算ではなく、幾何学的な特徴量で予測できる手法を開発できれば、物性物理に大きなインパクトを与える。
物質のトポロジー相は、２０１６年のノーベル物理学賞の受賞対象となるなど、物性物理において重要な課題である。物理では周期系でのみ理論を展開しているが、我々は非可換幾何学を用いてこれを無秩序系の理論へと拡張した。これらの成果を基に、数学的に意義の深い非コンパクト、非線形な設定への拡張へと挑戦したい。
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Research Products
(46 results)
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[Presentation] Figure Materials2016
Author(s)
Motoko Kotani
Organizer
16th International Conference Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering
Place of Presentation
BARCELO COSTA BALLENA HOTEL ( Cadiz, Spain)
Year and Date
2016-07-05
Int'l Joint Research / Invited
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