2016 Fiscal Year Annual Research Report
Discrete Geometric Analysis for Quantum Spin System
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24244004
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小谷 元子 東北大学, 理学研究科, 教授 (50230024)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 幾何学 / 離散幾何学 / スペクトル解析 / スピン系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
物性物理における基本的な問題は、様々な環境設定における電気伝導性であり、これは対応するハミルトニアンのスペクトル構造によって決定される。近年の中心的な課題である電素のスピン機動相互作用を取り入れたスピントロニクス(スピン＋エレクトロニクス)であり、特に、波動関数のなすバンド構造のトポロジカルな性質が、伝導性物質について、物質の幾何学的構造に力点をおいて研究することが、本研究の目的である。離散距離空間の幾何学、スペクトル幾何学、トポロジーの知識を適用することで、量子スピン系の離散幾何解析学を展開した。
研究は、研究代表者 小谷を中心に、分担者 熊谷隆、塩谷隆、連携研究者 尾畑伸明、楯辰哉、宮岡礼子と緊密に連絡をとりつつ推進した。すべての研究は小谷の指導のもとに遂行するが、分担者が責任テーマの取りまとめを行った。
本研究では、離散曲面上の離散シュレーディンガー作用素と、極限に現れる連続な曲面上のシュレーディンガー作用素の関係を調べることで、電子物性の解明することを中心的な課題と置いた。量子スピンの中心的課題であるトポロジカル絶縁体に関する数学的理解を進め、ランダムポテンシャルのある場合のバルク・エッジ対応を示した。カーボン材料の原子配置を表す数理モデルとして曲面の離散版となる離散曲面論を、３岐グラフを対象として構築した。更に、その背後に隠れた連続な曲面を捉えるために、与えられたグラフを細分することでできたグラフ列の収束を用いて、トポロジカル欠陥を検出し、局在化の可能性について数理モデルを提案した。得られた研究成果は国際ワークショップ等における講演、及び国際科学雑誌に出版した。
近年、量子スピンに関するトポロジカル材料に関して、非可換幾何学を用いて世界中で著しい進展があったため、それを調査し、最終年度は仙台において国際研究集会を開催した。
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| Research Progress Status |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Remarks |
【論説・記事】・数学,化学と出会う(4) アモルファス材料のトポロジー解析,小谷元子,現代化学(541),2016
・大人のための最先端理科（第119回）数学 データを構造解明へつなげる 数学と材料開発の意外な相性,小谷元子,週刊ダイヤモンド,105(21),2017
・離散と連続をつなぐ幾何（特集 発展する微分幾何：その多様性、面白さ、そして美しさ）, 小谷元子,数理科学,55(6),2017
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