2015 Fiscal Year Annual Research Report
Applied analysis of equations of incompressible fluid motions
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24244007
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
岡本 久 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40143359)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山田 道夫 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90166736)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ナヴィエ－ストークス方程式 / 解の分岐 / 水面波 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元ナヴィエ－ストークス方程式の定常解はたくさん存在する。しかし、レイノルズ数がある程度以上大きくなるとunimodalな解（単峰解とも称する）が現れてくることがわかった。単峰解とは流れ関数のグラフを描いたとき、山が一つで谷底も一つというトポロジカルに単純な形状を示す解のことである。レイノルズ数が大きいときには流れ場は複雑化し、秩序だった流れは見られない、という直感とは反する事実である。3次元乱流では単峰解はないであろう。しかし、2次元の流れでは単峰解が巨大レイノルズ数下で現れるというのは極めて奇妙な現象である。これを数値的に発見し、雑誌[Nonlinearity]に発表した。
単峰解の存在を厳密に証明するということは難しい。そこで、2次元流れのモデルで様々な数値実験を行い、そこにも単峰解が現れることを確認した。これは「2次元流れの1次元モデル」であるので、厳密な証明が可能であると信じている。まだ証明は出来ていないが、精度保証計算を使って証明するための努力を続けている。
渦ありの流れに関する水面波の数値実験を始めた。これまでは渦無しの流れに関する数値実験が大半であったが、現実の流れに少しでも近づくため、渦ありの流れを計算する必要がある。
3次元力学系で大多数の軌道が非有界となる者を考え、そこで時間周期解が存在することを、精度保証計算で証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
単峰解の存在は直感に反することなので、なかなかすぐには信じてもらえない。しかし、専門誌Nonlinearityに掲載されたこともあって、すこしずつ浸透してきた。今後は精度保証計算を援用することによって、理論体系を整えてゆく予定である。渦あり流の水面波の数値計算は大変困難な問題であるが、よどみ点を考慮に入れたアルゴリズムを開発しつつある。
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| Strategy for Future Research Activity |
Proudman-Johnson方程式というモデル方程式で単峰解の存在を証明したい。精度保証計算の専門家と共同して、証明を試みる。また、Constantin-Lax-Majda方程式の一般化についても同様のことを考えたい。
様々な渦の分布を考え、それに対応する進行波の形状を数値計算する。特に水底で渦がある場合が重要である。こうした数値実験で渦分布が水面の形状にどういう影響を与えるか、研究してみたい。
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