2012 Fiscal Year Annual Research Report
２次元クーロンポテンシャルによって相互作用する無限粒子系の確率幾何と確率力学
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24244010
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Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
長田 博文 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (20177207)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
種村 秀紀 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40217162)
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
白井 朋之 九州大学, 学内共同利用施設等, 教授 (70302932)
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 無限次元確率微分方程式 / ランダム行列 / Airy点過程 / Bessel点過程 / 無限粒子系 / 準Gibbs性 / 対数微分 / ソフトエッジスケーリング |
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| Research Abstract |
長田と種村は平成24年度の研究計画の中で、Airy点過程およびBessel点過程について、平衡分布の「準Gibbs性」を証明し、更に、「対数微分」を計算して、無限次元確率微分方程式を解くことを目標にしたが、Airy点過程については逆温度βが、1,2,4の場合、また、Bessel点過程に関しては、逆温度βが2の場合に証明した。この結果と、研究代表者の最近の一連の成果である一般論と組み合わせることにより、これらの平衡分布に対応するlabel粒子の運動を記述する無限次元確率微分方程式を解くことが（通常の意味で）できた。ランダム行列に関係する1次元無限粒子系の平衡分布の中で、これらの平衡分布は、sine点過程と並ぶ3つの重要な例である。とくに、Airy点過程は、ソフトedgeスケーリングの典型例であり、KPZ普遍性ともかかわる、注目を浴びている対象であるが、それの無限次元確率力学系を確率微分方程式の解として、明解な表現を与え構成したことは、意義が大きい。この際に、無限次元確率微分方程式の、強解の存在と強い意味の一意性を証明する、新しい方法を開発した。この方法は、汎用性が高く、様々なモデルに適用できる。確率微分方程式に意味を持たせるために、最低限必要な滑らかさを仮定したRuelleクラスポテンシャルすべてに適用できる。これは、当初の計画をはるかに凌ぐ、強い結果であった。
舟木は界面揺動を記述する Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程式に関連して現れる確率熱方程式について，幾何的ブラウン運動の分布が不変測度であることを示した。
白井は、独立同分布な実ガウス係数をもつランダム冪級数の零点に関して，n点相関関数がパフィアンで書けることを示した．その証明の過程で，そのランダム級数の絶対値と符号の積のモーメントのパフィアン表現も得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
最大の目的であった、Airy点過程に付随する無限次元確率微分方程式の形を究明しすることに成功し、更にそれを解くことができた。これは本来、研究代表者の最近の一連の研究で開発した、無限次元確率微分方程式を解く方法の、重要な例への一つの応用として企画されていた。
ところが、幸運にも、当初の目的を達成しただけではなく、本年度の研究で、確率微分方程式の通常の意味の解のみならず、はるかに強く良い解である、強解の一意的存在まで証明することができた。
その手法は、このモデルに特化したものではなく、極めて汎用性が高く、無限次元確率微分方程式を、無限個のconsistentな有限次元確率微分方程式に書き換え、さらに平衡分布のtailの一意性の問題に帰着するという、アイデアに基づくものである。
応用として、マルチンゲール問題の一意性、Dirichlet形式の一意性、更に、逆温度βが２の場合は、従来、代数的な方法で無限次元確率力学系の構成がなされていたが、それと一致することを証明した。尚、βが１と４の場合は、従来、代数的な方法では、確率力学は構成されていない。
これらの結果は、平成24年度当初の段階では、想像もしなかったレベルである。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２５年度は、平成24年度の結果を論文の形にまとめ上げることに専念する。
また、様々な機会通じて、これらの結果を発表し、この新しい手法を広めていきたい。また、マルチンゲール問題から当然、生み出せる、収束定理をはじめ、広範囲の応用を持つので、それを一つ一つ実行していきたい。
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