2012 Fiscal Year Annual Research Report
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24244012
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Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柳田 英二 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (80174548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
仙葉 隆 九州工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (30196985)
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科, 教授 (10231458)
壁谷 喜継 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
谷口 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (30260623)
石渡 通徳 福島大学, 共生システム理工学類, 准教授 (30350458)
高坂 良史 室蘭工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (00360967)
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| Project Period (FY) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| Keywords | 関数方程式の大域理論 / 安定性 / 漸近挙動 / 分岐構造 / 特異性 |
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| Research Abstract |
放物型および楕円型偏微分方程式の解の構造についての研究を進め，以下のような成果をあげた．
①藤田型方程式に対し，指数に関する適当な仮定のもとで，球対称な定常特異解の安定性について調べ，重み付き空間において大域的に安定であることを示した．②空間次元が11以上の場合について，走化性方程式の球対称な定常解が球対称な摂動に対して安定である事を示し，またこの事実の応用として走化性方 程式の球対称な振動解を構成した．③臨界指数をもつ半線型放物型問題について，前方自己相似変換後の方程式に付随するエネルギー汎関数に関する大域的コンパクト性定理を証明し，時間大域解のエネルギーの時間無限大極限が量子化されることを示した．④外部領域と交わる軸対称な曲面の表面拡散方程式における定常は平均曲率一定曲面である球面の一部，円柱，アンデュロイドのいずれかになるが，円柱の場合について安定性を調べ，対応する線形化方程式の固有値問題を解析することで円柱に関する安定性の判定条件を得た．⑤べき乗型の非線形項をもつ半線形熱方程式のCauchy 問題の解の挙動について考察を行い，2つ以上の自己相似解が存在する場合，非最小自己相似解は，時間大域存在と有限時刻爆発を分ける敷居解となること，そして時間大域解は漸近的に最小自己相似解に収束することを示した．⑥球面上の領域において，ガウスの超幾何関数の詳細な解析をすることで，経度依存も込めた全体の分岐解析を行い，関連する話題として，臨界シュレディンガー熱半群の精密な時間減衰評価を得た．⑦Allen-Cahn方程式において，軸非対称進行波解の存在と，スピードがゼロの局在進行波解の非存在を証明した．また競争拡散系とよばれる反応拡散系において，角錐型進行波の存在を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
放物型偏微分方程式については，藤田型方程式や走化性方程式の定常解の安定性と漸近挙動，臨界型の場合のエネルギー汎関数の性質について進歩があった．楕円型方程式については，球面上の解構造の分岐や平均曲率一定曲面上の固有値問題について新たな進展があった．
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| Strategy for Future Research Activity |
放物型偏微分方程式については，安定な定常解への収束レートやホモクリニック解の性質についての研究を進める．楕円型方程式については，双曲空間や球面上の方程式の解の大域的分岐構造について研究を進める．
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