2015 Fiscal Year Annual Research Report
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24244012
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
柳田 英二 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (80174548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
仙葉 隆 九州工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (30196985)
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科, 教授 (10231458)
壁谷 喜継 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (30350458)
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 准教授 (00360967)
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| Project Period (FY) |
2012-05-31 – 2017-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 解析学 / 楕円型方程式 / 熱方程式 / 走化性方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，非線形放物型方程式，楕円型方程式，熱方程式，走化性方程式，曲面の発展方程式について成果を得た．
非線形放物型方程式について，有界領域上の特異解の存在について明らかにした．また，べき乗型の非線形項をもつ方程式に対して、時間大域解の漸近挙動について考察を行い，漸近接合展開法に基づく比較定理を駆使することにより、重み付きのノルムにおける定常解への収束レートを与えた．この他，逆二次のポテンシャルのついた線形熱方程式の定常解の性質と，時間発展問題の帯域挙動について研究を行った．
楕円型方程式については，生物モデルに現れる非線形最適化問題に関して，目的関数の最大化解の性質を調べ，特にそればバンバン性を持つことを示した．また，球面上での楕円型偏微分方程式の解の形状についての研究を行った．解の漸近挙動を解析するための基本的なツールである実関数論的関数不等式、特に新たな二次元臨界型 Hardy 型不等式の導出及び付随する変分問題の解析及び Trudinger-Moser 型不等式に付随する変分問題の解析を行った。
走化性方程式系の研究においては，感応関数が具体的な場合についてその解の性質が個別に調べられているが、本年度の研究において空間次元が2次元である一般化された感応関数を持つ放物型-楕円型走化性方程式系が爆発解を持たない感応関数の条件を明らかにした。
曲面の発展方程式である表面拡散方程式に関して、定常曲面の1つであるアンデュロイドの安定性の解析を行った。楕円積分を含んだ超越方程式を厳密に解析することで、これまでよりもより一般的なパラメータの条件に対して、安定性の判定条件を導出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
放物型方程式については，特異な初期値に対する解の非一意性，有限時刻で爆発する解の性質などについて進展があった．
楕円型方程式については，生物モデルに現れる非線形最適化問題に関連した方程式についてブレイクスルーがあり，最大化解の特徴付けに成功した．
表面拡散方程式を用いてある種の極小曲面の性質を明らかにした．
放物-放物型系の移流拡散方程式の大域解の存在とその性質について進展があった．
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| Strategy for Future Research Activity |
放物型偏微分方程式については，特異な初期値に対する解の非一意存在に関する研究の完成を目指すとともに，爆発解の爆発時刻，爆発点，形状などの問題についてさらに考察を進める．
楕円型方程式については，特に多様体上の解の構造を分岐理論と変分法を用いて考察し，ユークリッド空間上の領域との違いを明らかにしていく．また，空間1次元の場合に，生物モデルと関連した非線形最適化問題の最大化解を決定する問題に取り組む．
移流拡散方程式については，放物ー放物型の場合の大域解に関する研究の完成を目指す．
このほか，これまでにやり残した研究について検討を進め，今後の研究の方向を明確にする．
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