2016 Fiscal Year Annual Research Report
Statistical inference for stochastic differential equations and its applications to high frequency data analysis
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24300107
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
内田 雅之 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (70280526)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
吉田 朋広 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90210707)
増田 弘毅 九州大学, 数理学研究院, 教授 (10380669)
深澤 正彰 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (70506451)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 数理統計学 / 確率過程 / Levy過程駆動型SDE / 疑似尤度解析 / 非整数ブラウン運動 / ボラティリティ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，(i) 高頻度データに基づく微小拡散型過程モデルのハイブリッド型推定法の開発，(ii) レヴィ過程で駆動される確率微分方程式モデルの推定法の構築，(iii) 非整数ブラウン運動など自己相似性を持つ連続時間ガウス過程の高頻度データに基づく統計的推定理論の構築，について研究を行った．
(i)については，微小拡散過程モデルのドリフトパラメータとボラティリティパラメータの最尤型推定を行うために，疑似尤度関数の最適化のための初期値の設定が重要な役割を果たす．本研究では最初に適応的ベイズ型推定量を求めて，それを初期推定量として用いたハイブリッド型マルチステップ推定量を構成した．そして微小拡散過程における統計的確率場の大偏差不等式を示して，提案した推定量の漸近正規性やモーメントの収束性を証明した．さらに，初期推定量はベイズ型推定量を用いるが，漸近有効推定量を導出するために，スコア法の代わりに適応的最尤型推定法を採用したハイブリッド型推定法を提案した．
(ii)については，高頻度観測されるLevy駆動型確率微分方程式モデルについて，正規型疑似尤度によるパラメトリック係数推定量，および残差系列を用いてLevy測度の汎関数の推定量を段階的に構築し，それらの漸近分布を導出した．とくに，係数推定量を代入することで生じるバイアス量を適切に補正し，漸近バイアスを除去した上で同時近似信頼集合の構成を可能とした．
(iii)については，離散時間定常ガウス過程に対して有効性が知られている Whittle 近似を応用して，高頻度観測極限において擬似尤度に基づく漸近有効推定量を構成した．ボラティリティが非整数ブラウン運動で駆動される確率微分方程式モデルに対する高頻度データ解析へも応用し，ボラティリティ推定誤差を考慮した，ボラティリティのハースト指数推定量を提案した．また関連する実データ解析も行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通り，微小拡散過程におけるドリフトパラメータとボラティリティパラメータの推定量の有効な計算法として，初期ベイズ推定量とスコア法を融合させたハイブリッド型マルチステップ推定量を構成し，その漸近的性質を示すことができた．具体的には，微小拡散過程のドリフトパラメータに対して，最小自乗型擬似尤度関数による温めたベイズ型推定量を導出した後，ボラティリティパラメータに対してオイラー・丸山近似に基づいた疑似尤度関数による適応的ベイズ型推定量を導出した．それらを初期推定量としたマルチステップ推定量を構成し，それが漸近混合正規性やモーメントの収束性をもつことを示した．また，数値シミュレーションにより，温めた初期ベイズ推定量の収束率に依存してハイブリッド型マルチステップ推定量の漸近挙動が変化することを検証することができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
数値実験を行うにあたり高速化プログラムの開発に成功し，当初不可能と考えていた高次元確率微分方程式モデルのハイブリッド型推定量の大規模な数値実験が可能となった．これにより，モデルの高次元化にも対応可能になると考えられ，高次元微小拡散過程モデルや高次元エルゴード的拡散過程モデルに対するハイブリッド型推定の研究の発展が期待される．具体的には，初期ベイズ型推定量の導出においてすべての高頻度データ(フルデータ)を使用するのではなく，縮小された高頻度データを用いる．これにより得られた初期ベイズ型推定量は最適収束率を有しないが，計算コストを軽減し，数値的に安定すると予想される．そして，縮小された高頻度データに基づく初期ベイズ型推定量を用いたハイブリッド型推定量を導出し，その漸近的性質および数値シミュレーションによる漸近挙動の検証を行う．
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| Causes of Carryover |
（理由）微小拡散過程のハイブリッド型マルチステップ推定量の研究をしていたところ，フルデータではなく縮小されたデータに基づいて微小拡散過程の初期ベイズ推定量を構成して，ハイブリッド型推定量が構成できるという新たな知見が得られた．また，提案手法の有効性を示すために高次元微小拡散過程モデルの大規模数値実験を行い，ハイブリッド型マルチステップ推定量の漸近的挙動を実証することに時間を費やしたことにより，研究計画の遅延を余儀なくされ，専門家との研究打ち合わせや研究発表を行う機会が十分に持てなかった．よって次年度は研究打ち合わせや研究発表のために旅費が必要である．
（使用計画）次年度に縮小データに基づく微小拡散過程やエルゴード的拡散過程のハイブリッド型推測法についての研究打ち合わせや確率過程の統計推測やベイズ法の計算統計および超高頻度データ解析とその応用に関する研究集会での発表を行うための旅費などに使用する予定である．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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Research Products
(20 results)
