2013 Fiscal Year Annual Research Report
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24340001
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
雪江 明彦 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20312548)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 概均質ベクトル空間 / ゼータ関数 / 密度定理 / 局所ゼータ関数 |
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| Research Abstract |
平成25年度は概均質ベクトル空間におけるJordan分解の拡張の問題と3次エルミート行列の対の空間の大域ゼータ関数の極における主要部の決定について考察した. Jordan分解の拡張の問題については，準備的な問題として GIT (幾何学的不変式論)の convexity による stratification の有理性の問題について，群が必ずしも split でない場合に東北大の大学院生の田嶋和明とともに考察した. 群が split の場合は既知だが， split でない場合にも stratification の有理性を証明する見通しがついた. Jordan 分解についても,いくつかの例については考察したが，他の場合も含めて考察中である. 3次エルミート行列の対の空間の大域ゼータ関数の極における主要部の決定の問題については，できる見通しだが，ゼータ関数のスペクトル分析を行う際のアイゼンシュタイン級数の非定数項の評価はできたと思われる. これについて現在論文を執筆中である. また，このことについて研究集会で講演した. 残りの問題である定数項からくるより小さい概均質ベクトル空間のゼータ関数の特殊値を用いた極の考察も現在行っている. また，Thorne とのやりとりで３変数2次形式の対の空間の場合の雪江による古い結果から一般の代数大の4次拡大の密度を決定する問題について古いを使った方法で証明ができるかもしれないという進展があった. この場合には局所軌道積分の一様評価は未発表だが証明済みである.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Jordan分解の拡張についてはアイデアは確定している. pを法として有限体F_p上で考察する際に GIT convexity による stratification を考えそれを繰り返していくことによりJordan分解を拡張できると考えている. その stratification を考える際に整数論的状況では，群が必ずしも split でない場合に定式化をしなければならない. この部分にある程度時間がかかかった. しかしこれについては解決できる見通しがついたので，いずれうまくいくのではないかと思われる. 一旦この部分が解決すれば，コンピューターを使った線形計画法による計算により多くの場合に stratification のデータを得ることができると予想される. 3次エルミート行列の対の空間の大域ゼータ関数については，アイゼンシュタイン級数を使ったスペクトル分析の過程でアイゼンシュタイン級数の非定数項の評価をし，それが無視できることを示す必要がある. この部分は解決したものと思われるが，非常にテクニカルな計算であり，書き上げるのに時間がかかっている. しかし，それは時間の問題と思われる. この部分がけりないと先に進めないが，定数項の考察になれば，この場合には技術的な問題はないと思われるので，順調にいくのではないかと思う. ただ，非定数項の部分だけ発表するわけにはいかず，全体としてはかなり長い論文になると思うので，時間がかかる. 最後までできたあかつきには，おそらく非定数項の部分と定数項の部分にわけて2部の論文にするのではないかと思う.
一方3変数2次形式の対の空間についてもThorne とやりとりをしたりして，一般の代数体を固定した時のその4次拡大の密度の考察をした. そちらのほうも興味深いことでそれもいずれは結果が出るものと思われるが，まだ時間がかかっている状態である.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度も引き続き3次エルミート行列の対の空間の大域ゼータ関数の研究におけるアイゼンシュタイン級数の非定数項の評価を論文にすることと，定数項の寄与による極の構造の決定を優先する. 非常にテクニカルなので，これにはそれなりに時間がかかることが予想されるが，今年度中にはできると思われる. 田嶋和明とは引き続き共同研究を行い，3次行列の対の空間の Jordan 分解を決定することを目標とする. それには帰納的ステップで現れるすべての概均質ベクトル空間の Jordan 分解を決定することが必要になる. また，non-split な場合として，3次エルミート行列の対の空間の場合にも考察する. この場合は群の階数が 3 なので，比較的考察しやすいものと思われる. 3変数2次形式の対の空間の局所理論と局所密度の計算については未発表だが，ずいぶん前に preprint が完成している. この場合は3次以下の体かrたくる部分をどうやって除外するかが問題だったが，これについて進展があるかもしれないので，Thorne を日本に招くか雪江がアメリカに行くかして，討論をし一般の代数体上の4次拡大の密度が決定できるかどうか考える. また，一般の代数体上では，Kable と Wright によって考察されたように，Steinitz 不変量の一様分布といった問題を考察することが可能である. これは大域ゼータ関数の極が一般の指標について計算されていれば，指標が自明な場合の考察と3次体の場合と同様な考察によって証明できると推察される. それにより，例えば，k を代数体とするとき，k の4次拡大 F で F の整数環が k の整数環上自由加群であるものだけを数え，その密度がすべて考える場合の 1/h (h は k の類数)といった結果を得られると思われる. 今年度はこういった問題について研究を進める.
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
小額の金額が残ったが，平成26年度の研究集会の旅費に回せるので，あえて使わなかったため。
平成26年度の研究集会などの旅費の補助にする。
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