2014 Fiscal Year Annual Research Report
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24340001
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
雪江 明彦 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20312548)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 概均質ベクトル空間 / ゼータ関数 / 密度定理 / 代数群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
東北大の大学院生田嶋和明との共同研究で簡約代数群が基礎体上必ずしも分裂していない場合に幾何学的不変式論の convexity による stratification および不安定点が帰納的構造を持つことを証明した論文がアクセプトされ，既に雑誌に発表された。この論文では，簡約代数群の代数表現が与えられたとき，群の極大スプリットトーラスの weight から組み合わせ論的に定まるリー環の有限集合によって，不安定点の集合が完全に記述でき，その有限集合も群の階数が7くらいまではコンピューターにより計算可能であることを示した。この stratification は既知の場合にはゼータ関数の解析的性質の研究に使われている。
また，随分前に行った研究だが，正標数の場合に概均質ベクトル空間の正則性の概念を定義し，正則な概均質ベクトルの場合には一般の点が基礎体の分離閉包上1つの軌道になることを証明した。この論文はレフェリーレポートを受け取り改訂中である。
これらの結果により局所体上の概均質ベクトル空間の軌道を調べるという目的のための基礎づけができたといいえる。局所体上の軌道を調べるためにはpを法として還元した空間の軌道分解を利用するというのがアイデアだが，そのためには正標数の概均質ベクトル空間の基礎づけが必要だった。また，上の stratification は完全体上で成り立つ結果だが，有限体は完全体であるため，考えている状況で制限なく適用できるとことになる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究は少し進展したが，本来の目的はp進整数環上の概均質ベクトルのp進整数環上の軌道を組み合わせ論的に記述するのが目的だった。その目的に沿って進んではいるが，そのために必要な基礎づけの部分に時間を費やしたために，本来の目的であるp進整数環上の軌道自身を多くの場合に決定するのには至っていない。しかし，正しい方向に向かっては研究は進んでおり，今後は今までに得られた結果を基にして本来の研究が進められることが期待される。また，それとは別に大域ゼータ関数についても研究中だが，とにかく大きく階数が3の概均質ベクトル空間であるため，それ程すぐには研究が進展しない。考察しているのは3次のエルミート行列の対の空間だが，この場合は3変数2次形式の対の空間と大きな類似性があり，その場合は雪江は過去に極を決定したので，この場合に研究が完成すること自身には明るい見通しを持っている。また，実際に convexity を使った stratification のコンピューターによる計算も実行中である。
連携研究者である京大大学院生の加藤遼には関連する問題である8元体上の3次エルミート行列の対の空間の有理軌道の意味を決定するという問題を与えてあり，順調に研究は進んでいる。この場合には Spin(8) の k-form で triality からくるものをパラメータ化しているものと思われるが，既に特別な点の安定化群が Spin(8)のS_3による拡大であることは証明済みであり，これについても明るい見通しである。
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| Strategy for Future Research Activity |
p進整数環上の概均質ベクトルのp進整数環上の軌道の決定についていくつかの場合について具体的に考察する。簡単な場合でまだ考察がされていない場合として，k_1 を基礎体上の3次拡大として，GL(2)_{k_1} の表現で代数閉体上では2次行列の対の空間になる場合は分裂階数が1で比較的考察がしやすいので，この場合について考察してみる。この場合は階数が1なので，局所ゼータ関数もそれなりに簡単なはずで，ジョルダン分解の一般化の考察により，局所ゼータ関数の一様評価が得られるかどうか考察する。さらに3変数2次形式の対の空間は考察中だが，この場合の考察を継続する。以前 convextiy による stratification のコンピューターによる計算が行ったことがあるが，それを再び実行し，ベクトルだけでなく，それから得られる帰納的構造に関する情報すべてが得られるようなプログラムを考える。特に，3次行列の対の空間の場合にどれだけの strata を考察しなければいけないのか決定し，現れる(可約な場合を含む)概均質ベクトル空間がどれだけ現れるか決定するというプロジェクトを進める。加藤遼との E_6 x GL(2) の有理軌道の考察を続ける。また，2次体上の3次エルミート行列の対の空間の大域理論の考察を継続する。また，正標数の概均質ベクトル空間の正則性に関する論文を改訂し，アクセプトさせる。
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| Causes of Carryover |
3月の学会のために連携研究者の旅費として確保しておいた額が実際には日程等の関係で予定していた額よりも少なかったため，差額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
27年度には2つの研究集会を主催するために，差額分を使うことに問題はない。
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Research Products
(2 results)
