2015 Fiscal Year Annual Research Report
平面分割，交代符号行列の代数的組合せ論と関連する表現論、数理物理学の研究
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24340003
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石川 雅雄 琉球大学, 教育学部, 教授 (40243373)
松本 詔 鹿児島大学, 理学部, 准教授 (60547553)
中西 知樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (80227842)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 平面分割 / 交代符号行列 / 組合せ論 / 表現論 / 対称関数 / 数理物理学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平面分割，交代符号行列は代数的組合せ論の核となる対象であり，表現論，数理物理学などの他の分野においても重要な役割を果たしている．この研究では，他分野との関係を念頭におきつつ，(1) Weyl の指標公式の交代符号行列による変形，Andrews-Robbins 予想，(q,t) フック公式，(2) 交代符号行列，平面分割の精密な数え上げ（構造の解析），ASM-TSCPP 対応の構成，(3) クラスター代数，ストリング理論への応用，などをテーマとして，これらに関するさまざまな未解決問題を解決すること，さまざまな側面を統一的に理解，説明すること，得られた公式，手法などを他の分野へフィードバックすることを目標とする．
2015 年度の研究では，Schur が対称群の射影表現の研究において導入した対称関数（Schur の Q 関数と呼ばれる）とその一般化，変種を扱った．Pfaffian 版 Cauchy--Binet の公式などの Pfaffian に関する一般的な公式を新たに見出し，Nimmo の表示式を出発点として Cauchy 型の公式，Jozefiak--Pragacz の公式などを導出することに成功した．そして，これらの手法，結果を用いることにより，C 型ルート系に付随した Q 関数（Hall--Littlewood 関数で t = -1 としたもの）の組合せ論的表示に関する Hamel--King の予想を証明することができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Weyl の分母公式の変形（徳山の公式など）の観点から組合せ論的に与えられていた C 型の factorial Q 関数に対して，その代数的構造を明らかにすることができ，Pfaffian 版 Cauchy-Binet の公式などの応用が見込まれる公式を見出すことができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
C 型ルート系に付随した Schur の Q 関数について，その表現論的側面を解析する．
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| Causes of Carryover |
参加を予定していた研究集会の開催が次年度 4 月に変更となったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
上記研究集会に参加するための旅費として使用する．
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[Presentation] Cluster algebras and applications2015
Author(s)
Tomoki Nakanishi
Organizer
School and International Conference on Geometry and Quantization GEOQUANT 2015
Place of Presentation
Instituto de Ciencias Matematicas, Madrid, Spain
Year and Date
2015-09-07 – 2015-09-10
Int'l Joint Research / Invited
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[Presentation] On generalized cluster algebras2015
Author(s)
Tomoki Nakanishi
Organizer
Ninth IMACS International Conference on Nonlinear Evolution Equations and Wave Phenomena: Computation and Theory
Place of Presentation
University of Georgia, Athens, USA
Year and Date
2015-04-01
Int'l Joint Research
