2016 Fiscal Year Annual Research Report
Algebraic combinatorics of plane partitions and alternating sign matrices, and related representation theory and mathematical physics
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24340003
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石川 雅雄 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (40243373)
松本 詔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60547553)
中西 知樹 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (80227842)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 平面分割 / 交代符号行列 / 組合せ論 / 表現論 / 対称関数 / 数理物理学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平面分割，交代符号行列は代数的組合せ論の核となる対象であり，表現論，数理物理学などの他の分野においても重要な役割を果たしている．この研究では，(1) Weyl の指標公式の交代符号行列による変形，Andrews-Robbins 予想，(q,t) フック公式，(2) 交代符号行列，平面分割の精密な数え上げ（構造の解析），ASM-TSSCPP 対応の構成，(3) クラスター代数，ストリング理論への応用，などをテーマとして，これらに関するさまざまな未解決問題を解決すること，さまざまな側面を統一的に理解，説明すること，得られた公式，手法などをほかの分野にフィードバックすることを目標とする．
2016 年度の研究では，2015 年度の研究に引き続いて Schur の Q 関数とその一般化，変種を扱った．C 型ルート系に付随した Q 関数（Hall-Littlewood 関数において t=-1 としたもの）について，積に関する構造定数の正値性などのいくつかの正値性予想を得るとともに，それらの特別な場合を証明した．また，分割の対に対して定まる有理型 Q 関数の研究を開始した．
古典群の自然表現の対称，交代テンソル積と既約表現とのテンソル積の既約分解を記述する Pieri rule を証明し，ある種の半標準盤の個数に関する Burrill 予想の別証明と一般化，変種を与えた．
執行，中屋敷との共同研究において，KP 階層のタウ関数で原点で 0 となるものを Schur 関数によって展開したときの展開係数が行列式で表されること，そしてこの行列式表示によって解が特徴づけられることを証明した．また，Sylvester の公式の一般化，Giambelli の公式の skew Schur 関数への一般化，およびその Pfaffian 版，Q 関数版を見出した．
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| Research Progress Status |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Causes of Carryover |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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