2012 Fiscal Year Annual Research Report
精度保証付き数値計算による無限次元逆作用素の最適評価とその応用
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24340018
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 偏微分方程式 / 非線形解析 / 固有値解析 |
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| Research Abstract |
研究代表者らはこれまで,2階楕円型偏微分作用素に対する可逆性の検証条件を導き,さらに1次元Orr-Sommerfeld方程式の線形化逆作用素の有限次元作用素による一様近似に成功してきた.これら個別の方程式に対する成果・知見を取り込みながら,無限次元線形作用素の可逆性の検証と逆作用素の精度保証付きノルム評価方法を可能な限り一般的な関数空間と作用素に拡張した理論として与えるための研究を推進した.また,この一般理論によって得られる逆作用素ノルム評価が,有限次元作用素による一様近似となるだけでなく,従来の方法では得ることのできなかった下限の制約がない最適評価を導くことを確認した.
さらに,具体的な適用例として,各種境界条件を持つ移流拡散方程式,反応拡散方程式,Navier-Stokes方程式,Oberbeck-Boussinesq方程式の定常問題に対する線形化作用素を取り上げ,精度保証付き数値計算を行うことにより,構築した理論の有効性を確認した.
次に,線形作用素の可逆性の確認と有限次元作用素による近似を,有限次元行列に対するスペクトルノルム評価すなわち特異値問題に帰着させた.特に偏微分作用素をGalerkin近似により離散化して得られる
行列の多くは大規模かつスパース構造を持ち,一般にHermite性・正定値性は保証されない.本研究では,摂動理論と浮動小数点演算の事後誤差評価を併用することにより,可能な限り行列の構造を維持しながらスペクトルノルムの上界を精度保証付きで求める高精度・高効率アルゴリズムを与えた.さらに,開発・実装したアルゴリズムをプログラムライブラリとして整備するとともに,アルゴリズムの並列化および多倍長精度保証環境への実装も検討した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要に示した通り,当初計画した研究成果を着実に実行することができたと考えている.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度以降の研究計画の推進のため,引き続き連携研究者および海外研究協力者との緊密な研究打ち合わせと意見交換を行っていく.
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
今年度は海外研究協力者との研究打ち合わせを国内で行った.次年度は海外研究協力者の招聘または海外での研究打ち合わせ旅費として使用する予定である.
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Research Products
(5 results)
