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2014 Fiscal Year Annual Research Report

精度保証付き数値計算による無限次元逆作用素の最適評価とその応用

Research Project

Project/Area Number 24340018
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

渡部 善隆  九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)

Project Period (FY) 2012-04-01 – 2015-03-31
Keywords精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 関数解析 / 無限次元固有値問題 / 不動点定理
Outline of Annual Research Achievements

平成24年度・平成25年度の研究成果として、2階楕円型偏微分作用素に対する可逆性の検証条件を精緻化・一般化することにより、無限次元線形作用素の可逆性の検証と逆作用素の精度保証付きノルム評価方法を可能な限り一般的な関数空間と作用素に拡張した理論として与えることに成功した。また、この一般理論によって得られる逆作用素ノルム評価が、有限次元作用素による一様近似となるだけでなく、従来の方法では得ることのできなかった下限の制約のない最適評価を導くことを具体的検証例とともに明らかとした。

また、精度保証付き数値計算による無限次元逆作用素の最適評価の基盤技術を、非線形関数方程式の線形化作用素に適用することにより、無限次元Newton法に基づく非線形方程式の解に対する精度保証付き数値計算への応用に着手した。具体的には,これまでの手法では解の存在検証と誤差評価が必ずしも十分に達成されていない高Reynolds数の流体方程式、特異摂動問題、3次元熱対流問題、自然境界条件を持つ反応拡散方程式系の各定常問題に対する計算機援用証明に取り組み、個々の方程式に対し,精度保証付き数値計算をアルゴリズムレベルおよびプログラムレベルにおいて効率化する過程で得られた知見を従来の研究成果にフィードバックすることにより、線形作用素に対する逆作用素評価理論を堅牢化・精錬化を行った。

さらに、無限次元固有値問題に対する固有値・固有関数の包み込みおよび固有値除外手法への拡張を検討した。具体的には、Hilbert空間における固有値問題の存在・非存在証明が、自己共役問題だけでなく、固有値が一般に複素数となる非自己共役問題にも適用可能であることを、移流拡散方程式、周期境界条件を持つ反応拡散方程式などの非自己共役作用素に対する精度保証付き数値計算により立証する研究を行った。

Research Progress Status

26年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

26年度が最終年度であるため、記入しない。

Causes of Carryover

26年度が最終年度であるため、記入しない。

Expenditure Plan for Carryover Budget

26年度が最終年度であるため、記入しない。

  • Research Products

    (10 results)

All 2015 2014 Other

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results,  Acknowledgement Compliant: 2 results) Presentation (7 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] Some Considerations of the Invertibility Verifications for Linear Elliptic Operators2015

    • Author(s)
      Mitsuhiro T. Nakao, Yoshitaka Watanabe, Takehiko Kinoshita, Takuma Kimura, and Nobito Yamamoto
    • Journal Title

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      Volume: 32 Pages: 19-32

    • DOI

      10.1137/120894683

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Verified Computations of Eigenvalue Exclosures for Eigenvalue Problems in Hilbert Spaces2014

    • Author(s)
      Yoshitaka Watanabe, Kaori Nagatou, Michael Plum, and Mitsuhiro T. Nakao
    • Journal Title

      SIAM Journal on Numerical Analysis

      Volume: 52 Pages: 975-992

    • DOI

      10.1007/s13160-014-0160-6

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] 楕円型線形逆作用素評価の収束性について2015

    • Author(s)
      渡部 善隆, 木下 武彦, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本数学会2015年度年会
    • Place of Presentation
      明治大学
    • Year and Date
      2015-03-21 – 2015-03-24
  • [Presentation] 楕円型線形逆作用素評価の収束性について2015

    • Author(s)
      渡部 善隆, 木下 武彦, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本応用数理学会2015年研究部会連合発表会
    • Place of Presentation
      明治大学中野キャンパス
    • Year and Date
      2015-03-06 – 2015-03-07
  • [Presentation] Orr-Sommerfeld方程式の臨界Reynolds数に対する精度保証付き数値計算(上2014

    • Author(s)
      渡部 善隆
    • Organizer
      応用数学合同研究集会
    • Place of Presentation
      龍谷大学
    • Year and Date
      2014-12-18 – 2014-12-20
  • [Presentation] A numerical verification method for the Orr-Sommerfeld problem2014

    • Author(s)
      渡部 善隆
    • Organizer
      研究集会: 流体方程式の構造と特異性に迫る数値解析・数値計算
    • Place of Presentation
      名古屋大学
    • Year and Date
      2014-12-08 – 2014-12-09
  • [Presentation] 精度保証付き数値計算による楕円型作用素の逆作用素ノルム評価2014

    • Author(s)
      渡部 善隆
    • Organizer
      RIMS研究集会・新時代の科学技術を牽引する数値解析学, 京都大学数理解析研究所
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所
    • Year and Date
      2014-10-08 – 2014-10-10
  • [Presentation] Some remarks on the rigorous estimation of inverse linear elliptic operators2014

    • Author(s)
      Takehiko Kinoshita, Yoshitaka Watanabe, and Mitsuhiro T. Nakao
    • Organizer
      16th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Validated Numerics (SCAN 2014)
    • Place of Presentation
      University of Wuerzburg, Germany
    • Year and Date
      2014-09-21 – 2014-09-26
  • [Presentation] 2階楕円型作用素における構成的Laplacianノルム評価2014

    • Author(s)
      渡部 善隆, 木下 武彦, 中尾 充宏
    • Organizer
      日本応用数理学会2014年度年会
    • Place of Presentation
      政策研究大学院大学
    • Year and Date
      2014-09-03 – 2014-09-05
  • [Remarks] Watanabe, Yoshitaka's Home Page

    • URL

      http://yebisu.cc.kyushu-u.ac.jp/~watanabe/

URL: 

Published: 2016-06-01  

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