2013 Fiscal Year Research-status Report
漸近的に平坦な計量をもつ空間における非線型波動の大域挙動の解明
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24340024
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
久保 英夫 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50283346)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
片山 聡一郎 和歌山大学, 教育学部, 教授 (70283942)
高村 博之 公立はこだて未来大学, システム情報科学部, 教授 (40241781)
星賀 彰 静岡大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (60261400)
中村 誠 山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
土井 一幸 富山県立大学, 工学部, 講師 (80608331)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 非線型波動方程式 / 漸近的に平坦な計量 / 時間大域解 / 解の爆発 / 遠方場 / 国際研究者交流(アメリカ） |
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| Research Abstract |
本研究の目的は空間遠方において計量が平坦であるような時空間における非線型波動方程式に対する初期値問題の大域可解性やその大域解の漸近挙動を解明することである．その場合，計量の摂動による効果を調べることは原点付近に障害物のある外部問題の解析と強い関連があるので，平成25年度には外部問題の解が光円錐の錐状近傍以外では強い減衰を示すための手法を再度，整理・点検した．前年度には，空間２次元における外部問題の解の微分に対する精密な減衰評価を導き，非線型項のオーダーが臨界的な場合に初期値問題のときと同様の結果を導いていたが，今年度は，微分なしの解自身に対する精密な減衰評価を新たに導き，劣臨界なオーダーをもつ非線型項を扱うことに成功した．
また，解について球対称性を仮定すれば本質的に空間1次元の問題に帰着されるので，そのような問題も考察した．より具体的には，まずは計量が空間全体で平坦な場合に，光円錐付近に解の主要部が集中することを時空各点的および時空自乗可積分性によって示す評価式を導出した．これらの評価式を非線型問題に応用し，非線型項に重み函数が付随している場合や非線型項が特別な代数的構造を持つような場合にその大域可解性を論じた．
加えて，一つの試みとして，ド・ジッター計量において質量項を持つ波動方程式の初期値問題について考察し，質量が大きく計量の影響を吸収できるような場合に，既存の結果において限定的だった初期値のクラスをより自然なエネルギークラスに拡張した．
以上のように，空間遠方において計量が平坦であるような時空間における非線型波動方程式の解の定量的な性質を統一的に理解すべく，様々な視点から考察を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究計画としては次のような内容を考えていた．計量が漸近的に平坦な場合に，
１．既に外部問題に対して得られている遠方場に関する解析を，レゾルベントによる解表示を用いて計量が摂動を受けた場合に拡張する．これにより，線型波動方程式の真の解とFriedlanderによる遠方場との差の定量的な評価を行う．
２．ポテンシャル項をもつ非斉次波動方程式の解に対する重み付き各点評価や重み付き時空自乗可積分評価を導出し，それぞれ半線型摂動およびの準線型摂動の問題に応用する．
３．ポテンシャル項をもつ非斉次波動方程式の解の積分量の下からの評価を導き，解の爆発問題を扱う．また，準線型摂動の問題を扱うのに必要となる遠方場からの摂動に関する精密な評価を導き，平坦な計量に対する議論がどこまで適用可能かを調べる．
これらの研究計画に対して，本年度は主に外部問題や空間１次元の問題に注目して，その解析手法を整理することに時間を要したため，これらの目標を完全にクリアーするには至らなかった．それでも，項目２に関しては，外部問題や空間１次元の問題において光円錐付近への解の集中を導くための手法を定式化することができたので，線型部分がポテンシャル項を持つ場合への応用にもある程度の目途を立てることができた．より具体的には，光円錐付近では殆ど定数だが，そこから離れた場所では時間減衰を導くような重み函数を用いた時空各点評価や時空自乗可積分評価の導出に成功した．また，項目１に関しては，外部問題に対しては既に解決済みであり，この議論をポテンシャル項に対する摂動の場合に拡張することはそれ程難しくないと考えている．そして，それが可能になれば，結果として，項目３についても解決の目途が立つことになる．以上の理由から本研究の現在までの達成度は，おおむね順調に進展していると評価できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２６年度には，次のように研究を進め，本年度十分なし得なかった上記の研究計画を達成する．
・ 片山氏との共同研究を進め，外部問題に対して得られた遠方場に関する解析を，レゾルベントによる解表示を用いて計量が摂動を受けた場合に拡張する．
・土井氏との共同研究を進め，半線型摂動の問題を扱うのに必要となるポテンシャル項をもつ非斉次波動方程式の解に対する重み付き各点評価を導く．また，中村氏との共同研究を進め，準線型摂動の問題を扱うのに必要となるポテンシャル項をもつ非斉次波動方程式の解に対する重み付き時空自乗可積分評価を導く．その際，Kato smoothingとの関連を意識しつつ進める．
・ 高村氏との共同研究を進め，解の爆発問題を扱うのに必要となるポテンシャル項をもつ斉次波動方程式の解の積分量に対する下からの評価を導く．また，星賀氏との共同研究を進め，準線型摂動の問題を扱うのに必要となる遠方場からの摂動に関する精密な評価を導き，解の最大存在時刻に関する結果を導く．
以上の内容を精力的に推し進め，予定通りの成果を挙げることができれば，本研究課題申請時におけるロードマップに追いつくことになる．平成２７年度には，これらの基礎的な研究成果を基に，さらに発展的な研究結果を導くとともに，統一的な理解を深めることに努める．
なお，平成２６年度の研究費は上述したように研究代表者と研究分担者の間で密に研究打合せを行う必要があるので，そのための旅費に充てる．また，国際的な研究集会を開催し，非線型波動や実解析の専門家らと本研究に対して幅広い視点から議論を行う予定である．更に，その研究集会に参加する分担者同士および関連する分野の研究者との間で意見交換を積極的に行い，本研究を活性化させる．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
前年度未使用額の68,159円は研究分担者との研究打合せのための旅費に充てる予定のも
のだったが、年度末にお互いの都合をつけることが難しく、やむを得ず、次年度に繰り越したものである．
今年度のなるべく早い時期に予定していた研究分担者との研究打合せを実現し、そのためのその際に旅費として使用する．
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