2013 Fiscal Year Annual Research Report
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24340031
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
砂田 利一 明治大学, 総合数理学部, 教授 (20022741)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
楯 辰哉 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00317299)
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
阿原 一志 明治大学, 総合数理学部, 教授 (80247147)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 位相的結晶 / タイト・フレーム / 標準的実現 |
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| Research Abstract |
離散幾何解析学は代表者（砂田）が開発した新領域であり、自然や社会に登場する様々なネットワークの諸問題を、大域解析学で培われたアイディアを適用することにより解決しようとする分野である。本研究では、特に結晶の数学的理論に的を絞り、離散的ラプラシアンの解析学および位相幾何学を用いて、「標準的実現」の性質を調べた。標準的実現は、元々は結晶格子上のランダム・ウォークの漸近挙動の研究の途上で発見されたものであり、最小原理により特徴づけられるものであるが、今回の研究では、標準的実現がwavelet analysisにおける概念であるtight frameに関連することに注目し、結晶的tight frameの概念を定式化した。これはroot systemの一般化と考えられる。結晶的tight frameの族は、グラスマン多様体の有理点でパラメトライズされ、さらに2次隊の体を用いて記述される。この研究の副産物として、Coxeter複体が標準的実現であることが証明され、さらに「大きい」対称性を有する結晶構造が標準的実現となっていることが確かめられた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
標準的実現は、結晶デザインにおいて重要な役割を果たしており、その特性が様々な数学分野（wavelet analysis,ルート系理論、tropical geometry、有理2次形式論）に関連していることが明らかになったことは著しい進歩である。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在、準結晶の理論に進みつつあり、一様分布の定量的定式化を行うことによって、新たな数学的結晶理論の開発を目論んでいる。さらに、２次形式の理論とcoincidence symmetry groupの関係についても新たな知見が得られることが期待される。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
学部長の役職上、出張等の支出が少なかったため。
研究集会、外国出張、外国人研究者招聘などに使用する。
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