2012 Fiscal Year Annual Research Report
大規模スパース行列の高速特異値分解法の開発とその実装コード公開
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24360038
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
中村 佳正 京都大学, 情報学研究科, 教授 (50172458)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木村 欣司 京都大学, 情報学研究科, 特定准教授 (10447899)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 特異値分解 / 固有値分解 / 大規模スパース行列 / 並列計算 / 実装コード公開 |
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| Research Abstract |
本研究では、広範な科学技術計算における重要性にも関わらず、これまで決定的な解法がなかった大規模スパース行列の固有値分解・特異値分解を最新の計算機環境上で高速特異値分解を実行する並列性の優れた新アルゴリズムを開発し、有用な実装コードを開発して公開する。具体的には、密行列特異値分解で用いたHouseholder変換ではなく、スパース性を保つLanczos法による3重対角化・上2重対角化を利用する。とりわけ、大規模スパース行列をBLAS環境で高速に固有値分解・特異値分解するため、ブロックLanczos法によるブロック3重対角化・ブロック上2重対角化を行う。これらブロック行列の固有値分解・特異値分解が新たな課題となる。
平成24年度は、研究の初年度として、逆反復法によるブロック3重対角行列の固有ベクトルの計算に取り組んだ。大規模行列ではPeters-Wilkinsonの判定基準のもとで多くの固有値がクラスターをなすため、対応する固有ベクトルの反復ごとの再直交化は欠かせない。そこで、「再直交化付きブロック逆反復法」の大規模分散並列環境での並列化を行った。再利用計算の多い行列演算の並列化効率が一番高いため、ベクトル演算中心の修正Gram-Schmidt(MGS)法、行列・ベクトル演算中心の古典Gram-Schmidt(CGS)法,高い直交精度で再直交化するため古典Gram-Schmidtを2度行うCGS2法,compactWY直交化法を比較した。ランダムな3重対角行列に対してLAPACKの2分法コードDSTEBZにより,固有値を計算するものとする。京都大学のスパコン(サブシステムC, Appro 2548X)の1ノードを使った数値実験の結果、逆反復法+MGS(LAPACKのDSTEIN)、逆反復法+CGS2、ブロック逆反復法+ブロックCGS2(提案手法)の中では、提案手法は従来法と同程度の精度を達成するとともに、行列サイズが大きい時には提案手法が高速であることを検証した。逆反復法+MGSと比較して、15000次元で約43倍高速である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
大規模スパース行列の固有値分解・特異値分解の高速実行はアルゴリズムと計算機アーキテクチャーの総動員が必要な難度の高い課題であるが、再直交化プロセスにブロックCGS2アルゴリズムを用いた逆反復法によって、ブロック3重対角行列の固有ベクトルの高速計算のメドがたったことは、特異値分解においてもっとも時間のかかる特異ベクトル計算の負荷を軽くすることに直結し、研究計画はトータルとして順調に進展したといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、理論の構築として初年度に開発した再直交化付きブロック逆反復法の収束証明を与えたい。その一方で徹底した性能評価も行い、従来のブロック逆反復法との比較や初年度は1ノードにとどまったスパコン数値実験を発展させ、GPGPU大規模分散並列環境における性能評価も行いたい。さらには、固有値・特異値計算部としてロック2分法とその並列化に取り組みたい。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
再直交化付きブロック逆反復法については最新のマルチコアPCやGPGPUの計算機環境における数値実験を含む基礎研究、とりわけ、固有ベクトル・特異ベクトル計算の高い直交性を保ったまま高速化することで、実用的な計算アルゴリズムの開発を推進する。一方で、国際会議などにおける研究成果の公開に力を注ぐ。このため、設備備品、学会発表旅費、謝金を中心に研究費を有効利用したい。
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