2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540009
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
辻 雄 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40252530)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 代数学 / 数論幾何学 / p進Hodge理論 / Higgs束 |
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| Research Abstract |
1. p進整数環上のスムース・スキーム上でのp進エタールperverse層と数論的D加群の対応についての研究．単純正規交叉因子から定まるstratification についてのエタールperverse層が， log エタール perverse層の理論を導入することにより簡明に捉えられることを示した．特にBeilinsonのpreverse層の張り合わせの手法の類似がlogエタール層で行えることを示した．Beilinsonの手法では因子の定義方程式を大域的にとる必要があるが，logエタール層は因子の方程式の取り方によらない概念であるため，大域的な議論が可能となった．
2. p進Simpson対応の研究．Faltingsのp進Simpson対応を,考えている代数多様体のある種の持ち上げの存在や取り方によらない形で記述する1つの方法として, Higgs crystalの概念を数年前に導入した. 平成24年度はその過収束性のsiteの理論を用いた定式化やコホモロジー論を構築した．Higgs crystalの概念の定義に用いたsiteではPoincareの補題が成り立たず良いコホモロジーが得られない．Poincareの補題を成り立たせるため，多項式環の弱完備化をとらえるようなレベル付きHiggs envelopeの概念を新たに導入し，この問題を克服した． また過収束Higgs crystalにp進Simpson 対応で対応する一般化表現のFaltingsコホモロジーとの比較定理も証明した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
p進perverse層のp進Hodge理論の研究．p進体上の良い還元をもつ完備スムースな代数多様体上で, 正規交叉因子に沿 って「特異性」をもつcrystalline perverse層とそれに伴うfiltration, Frobenius付き数論的D加群について,コホモロジーの局所的な比較の研究する計画であった. 前年度までの研究ではperverse層のはりあわせを複体レベルで行っていたため，従来の局所系の理論をはり合わせる上で困難が生じた．このためlog エタールperverse層の理論を導入し，Beilinsonのperverse層のはりあわせの手法をlog エタールperverse層の圏で行うという前年度までと異なるアプローチで研究を進め，はりあわせのより簡明な構成を与えることに成功した． コホモロジーの研究の基礎が進展したといえる．
Higgs crystalの研究．当初の計画通りHiggs crystalのコホモロジーを完成させることに成功した．また計画よりさらに研究を進め，平成26年度の研究計画に記載されていたHiggs crystalのコホモロジーとp進Simpson対応により対応するFaltings site上のベクトル束のコホモロジーの比較定理も証明した．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究目的に変更はない．研究計画の変更点は以下の通り．p進perverse層のp進Hodge理論については，平成24年度に計画していた局所的なコホモロジーの比較研究を平成25年度に行う計画である．平成24年度の研究によりpreverse層のはりあわせをlog pervese層の圏で大域的に構成できるようになったので，平成25年度の当初計画にあった大域的コホモロジーの研究への障害も少なくなっている．余裕があれば大域的な比較も考察する計画である．前年度扱ったp進Simpson対応はHiggs場があるp進的収束性をみたす場合のみである．一般のHiggs束の場合，代数曲線上ではdescentの議論を使うFaltignsの理論があるが，高次元の代数多様体上の理論はまだない．平成24年度年度の研究において，Higgs crystalやそれに対応する一般化表現の理論を代数多様体の退化がsmoothあるいはlog smoothでない場合にも構成した．これを手がかりにFaltingsのdescentの議論の高次元代数多様体への一般化も試みる．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
IHES（フランス）における研究集会Theorie de Hodge p-adique et Developpements（9月25日-9月27日）に当該科研費により出席し，平成２４年度および平成２５年度の研究成果について発表する計画である．また研究集会後一週間ほどIHESに滞在し，p進Simpson対応, Faltings site等についてA. Abbes氏と議論する計画である．また国内の数論・数論幾何の研究集会にも３，４回本科研費により出席し，関連する研究の情報を収集するとともに，p進コホモロジー，p進表現やその応用についての専門家と研究交流する機会をもつ．p進コホモロジー論，p進表現論に関連する書籍を必要に応じて適宜購入する．
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