Ｗｅｂｅｒの問題について

2013 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 24540030
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 小松 啓一 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (80092550)
• Keywords: 類数

Research Abstract

Weberの問題とは, 有理数体QのZ_p-拡大B_{p,∞}のpのn乗次の中間体B_{p,n}の類数はいつでも1であるかという問題である. 一方, Greenberg予想は, 総実代数体kとB_{p,n}の合成体kB_{p,n}の類数のp-指数がnについて有界であるという予想である. 25年度は, 上の二つの予想を同時に考えるという視点にたち, pを固定したとき, kB_{p,n}の類数はnについて有界かという問題を考えることにした. これは, k=Qとしたとき, B_{p,n}の類数はnについて有界かという問題になる.
25年度に得られた１番目の結果は, 10万以下の素数lについて, Q(√l)B_{2,n}の類数の2-指数はnについて有界であるというものである. これはA. Wilesによって証明された岩澤主予想を用いて, 類数の計算を円単数の計算に帰着し, 2進L-関数の岩澤多項式の次数を類数の2-指数を評価することによって得られた.
２番目に得られた結果は, 次のようなものである. pを虚２次体FでP, P’と完全分解する素数とし, F_∞をPのみ分岐するFのZ_p-拡大とする. F_nをF_∞／Fのpのn乗次の中間体とし, e_nをF_nの類数のp-指数とする. このとき, modular unitを用いて, 具体的にe_nを計算するアルゴリズムを与えることができた. これを用いて, p=3のとき, F_∞／Fのλ－不変量が0になることをFの判別式が20000より小なるときに証明した.
さらに, FのPの外不分岐な最大pro-p群がDemuskin groupになる例を見つけた.
また, 2014年3月11日から13日まで, 早稲田大学理工学術院で整数論の研究集会を開催し, 内外の研究者14名の講演をきくことができた.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Greenberg予想とWeberの問題の関連が見つかった.

Strategy for Future Research Activity

志村五郎氏により, 重さ2のmodular formに付随したアーベル多様体の等分点を用いて実２次体上のアーベル拡大体が構成されている. この手法をGreenberg予想, 及び, Weberの問題に応用したい.

Expenditure Plans for the Next FY Research Funding

数学教室の主任であったため, 研究集会等にあまり出席することができなかった.
種々の整数論研究集会への参加, 及び, 整数論サマースクールや早稲田での整数論研究集会の開催への補助