2015 Fiscal Year Annual Research Report
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24540030
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小松 啓一 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (80092550)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 類数 / Z_l-拡大 / 志村のアーベル多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Weberの問題とは、有理数体QのZ_l-拡大B_∞のlのn乗次中間体B_nの類数はいつでも1であるかという問題である。一方、Greenberg予想は、総実代数体kとB_nの合成体kB_nの類数のl-指数はnについて有界であるという予想である。これらの問題と志村理論の関係に着目した。即ち、weight 2、levelが素数pで位数2のeven characterつきのΓ_0(p)に付随した0でないHecke common eigen formのフーリエ係数がQ(√-3)を生成するとき、次の事が判明した。Q(√p)の基本単数をε=a+b√p、aとbを有理数とする。このとき、a-1とa+1が乗法的な意味で9で割れず、上記Hecke common eigen formのフーリエ係数がある合同条件を満たせば、志村の楕円曲線の9等分点を附加した体はQ(√p)のmod 9のray class fieldを含む。この証明には、Kummer拡大の分岐のための判定条件、楕円曲線を3の上にある素点でreductionしたとき、零になるかならないかの判定条件のような正標数の楕円曲線の性質を使った。これは志村のアーベル多様体が上記の問題に役立つことを示すものである。平成27年の12月の京都大学数理解析研究所で行われた研究集会「代数的整数論とその周辺2015」、金沢大学で行われた研究集会「北陸数論研究集会2015」に出席し、有益な情報を得ることができた。
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