2013 Fiscal Year Research-status Report
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24540034
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
宮岡 洋一 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (50101077)
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| Keywords | ヒッグズ束 / 半安定性 / Mehta-Ramanathan 型定理 |
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| Research Abstract |
第１のテーマとして、ヒッグズ束の代数的理論を研究した。年度内に得られた主要結果は、２次元以上の射影的多様体上の半安定なヒッグズ束を、十分次数の高い一般の超曲面に制限するとふたたび半安定ヒッグズ束となるという基本的結果（半安定ベクトル束に対する Mehta-Ramanathan 定理の一般化）である（出版準備中）。証明の骨子は、ベクトル束の時と同じく、ヒルベルトスキームの議論である。ヒッグズ束の理論は、微分幾何的手法によることが多いが、この Mehta-Ramanathan 型定理は微分幾何による証明はまだないのではないかと思う。この定理を用いることにより、高次元多様体上の半安定 Higgs 束に関する命題の多くは、曲線上の問題に帰着することができるので、さまざまな状況で幅広い応用が期待できる。特に期待される自然な応用としては、反安定性がテンソル積で保たれるという結果、半安定 Higgs 束に対する Bogomolov 不等式等の基本的結果に対する代数的な証明があり、現在研究中である。
第２のテーマとして、曲面上の曲線の次数に関するエフェクティブな評価にも取り組み、有望なアイデアもいくつか発見したが、決定的な結果に到達することはできなかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
目標として掲げた目標のうち、ヒッグズ束の理論の代数化について、順調に研究が進捗し、次年度へと発展する大きな足がかりとなった。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在は、Mehta-Ramanathan 型定理から期待できる結果である、以下の問題を研究している。
1. 半安定ヒッグズ束のテンソル積の反安定性。
2. 半安定ヒッグズ束に対する Bogomolov 不等式。
これらの基本問題を解決することによって、ヒッグズ束についての知見をさらに広げていけるのではないかと考えている。
ヒッグズ束の理論と並行して、曲面上の曲線の研究も平行して継続する。
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