2015 Fiscal Year Annual Research Report
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24540037
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| Research Institution | University of Fukui |
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Principal Investigator |
小野田 信春 福井大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (40169347)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流 / インド / アフィン代数幾何学 / 可換環論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可換環 R 上べき等元で生成される環に関する研究を論文として公表した。その中には次の結果も含まれている。
定理．R は零次元半局所環、A は R-加群として有限生成であるような R-代数とする。このとき、R が正標数かつ R の任意の極大イデアル M に対して R/M が代数的閉体なら、有限アーベル群 G が存在して、A は群環 RG の全射像となる。
さらに、2次元完備局所環 R 上の環 A が R 上有限生成となるための条件を求める研究に関して、以下の定理を示すことができ、昨年までに得られた結果をさらに補強することができた。
定理．R はネーター整閉整域、u は R の 0 と異なる素元、D は R を含む整域で、(i) D[1/u] = R[1/u][X]、(ii) uD は素イデアルかつ uD ∩ R = uR、(iii) D の uD による局所化は離散付値環、以上の3条件を満たすとする。A = R[X] ∩ D、P = uR[X] ∩ A、Q = uD ∩ A とおくとき、次が成り立つ。(1) A はクルル環である。 (2) 等式 uA = P ∩ Q が成立する。(3) P の任意の元 f に対して等式 A[1/f] = D[1/f] が成立する。また、Q の任意の元 g に対して等式 A[1/g] = R[X][1/g] が成立する。
定理．記号と条件は上の定理と同じとする。このとき、次が成り立つ。(1) P + Q = A ならば、A/uA は A/P と A/Q の直積と同型である。(2) uD が D の極大イデアルならば、D はネーター環である。(3) D がネーター環かつ P + Q = A ならば、A はネーター環である。(4) D が R 上有限生成かつ P + Q = A ならば、A は R 上有限生成である。
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