2013 Fiscal Year Research-status Report
Ｈｅｒｍｉｔｅ上半空間を周期領域にもつＫ３曲面の族の研究
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24540038
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| Research Institution | University of Yamanashi |
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Principal Investigator |
小池 健二 山梨大学, 教育学研究科(研究院), 准教授 (20362056)
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| Keywords | テータ関数 / モジュラー多様体 / Abel多様体 / Weyl群 |
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| Research Abstract |
25年度はMilano大学のBert van Geemen教授との共同研究により、接空間への作用がtype(2,2)となるorder 3の自己同型を持つ4次元Abel多様体のモジュライを調べた。order 3の自己同型のsymplectic表現をMとすると、考えているAbel多様体の周期行列は４次Siegel上半空間のMによる固定点として特徴付けられる。この様な点の集合H(M)は4次元I型有界領域となり、例外的な同型によりIV型領域としても実現されるので、K3型のweight2のHodge構造の周期領域と見なすことも出来る。symplectic群におけるMの中心化群C(M)はEisenstein整数環上の離散ユニタリ群の構造を持ちlevel2の合同部分群C(M,2)による商群はorder 25920の有限単純群であり，Weyl群W(E6)の指数2の部分群と同型になる。実際modular多様体H(M)/C(M,2)にはW(E6)が作用する。
このmodular多様体をテータ関数により５次元射影空間に埋め込み、W(E6)-不変な１０次超曲面として実現した。W(E6)を生成するreflectionのmirrorが３６個存在するが、このmirrorによる切断としてIgusa quarticのHessian超曲面が得られる。この３次元多様体はB. Huntによってmodular多様体であることが予想されていたが、肯定的な結果を得たことになる。
研究成果は共著論文『A PICARD MODULAR FOURFOLD AND THE WEYL GROUP W(E6)』としてまとまられ、現在雑誌に投稿準備中である。研究代表者は『第7回玉原特殊多様体研究集会』において、研究成果を発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Hermite上半空間の離散ユニタリ群による商空間として得られる４次元モジュラー多様体の具体例を一つ考察した。このモジュラー多様体はIV型領域の商空間とも見なせるので、何らかのmarked K3曲面の周期領域となっている事が期待できる。この様なK3曲面の幾何学的構成とKuga-Satake-Hodge対応の研究が来年度の課題となる。
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| Strategy for Future Research Activity |
モジュラー多様体の埋め込みにtheta constantsを利用したが、対応する４次元Abel多様体のKummer多様体を調べる予定でいる。その為に、Riemann's theta relationsに考えているorder 3の自己同型を作用させ、より簡単な方程式に帰着させる方向で検討している。いずれにしても計算機による多変数多項式の膨大な計算が必要となるので、コンピュータのメモリの増設し、最新のCPUに換装する予定でいる。
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