2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540044
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kochi University |
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Principal Investigator |
土基 善文 高知大学, 教育研究部自然科学系, 准教授 (10271090)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松澤 淳一 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (00212217)
石井 亮 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10252420)
吉冨 賢太郎 大阪府立大学, 公私立大学の部局等, 講師 (10305609)
菊地 克彦 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (50283586)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非可換代数幾何学 / Jacobian 問題 / Dixmier 予想 / 有限体 / 多項式力学系 |
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| Research Abstract |
まず、Weyl 環や、それと森田同値であるような環について考察した。
正標数の体上では、それらの環がアフィン空間上の層を与えることはよく知られており、本研究でも大事な素材である。これらの層を射影多様体上にまで延長した時、その性質はどのようであるかが課題の一つであったが、本年度はこの問題について、Auslander regularity が関係することを突き止めた。具体的には、その延長が無限遠まで込めてAuslander regular であればそれは本当の Weyl 環であることを証明することができた。この証明には Ramlas の古典的結果を用いる。
この結果は、ホモロジー的な手法を我々の研究に持ち込む可能性を示唆しており、大変有意義であると考えられる。
他方、有限体に還元しても中心が小さいような環も存在する。これはWeyl 環と対極に位置するものと見ることもできようが、このようなものがどのようなものかは知っておく必要があるように感じられた。
そこで、本研究の手法を応用した有限体上の力学系の考察を開始した。これは、黒川先生の定義したカテゴリのゼータ関数と関係するほか、力学系のゼータ関数と合同ゼータ関数の架け橋となることが期待される。本年度は、有限体上の代数多様体の自己写像による軌道の解析について、一番基礎的な部分をまとめ、その途中で、我々の例から作るようなカテゴリーのゼータ関数が多くの場合発散することを発見した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Weyl 環と、それに森田同値な環たちの、射影多様体への延長が Auslander 正則性で区別されることは、Weyl 環の特徴付けに向けてかなりおおきな一歩である。
また、有限体上の力学系についても順調にその性質が明らかになりつつある。
たとえば、有限生成の環の自己準同型によるクロス積の極大イデアルの状況がわかりつつあり、関連していくつかのゼータ関数の関係の研究に目処が立ちつつある。
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| Strategy for Future Research Activity |
Weyl 環については、Jacobian 問題やそれに関連した予想の数々など、一番大事でかつ難しい問題が未だ残っている。
次年度はそれを睨みつつ、まず有限体上の力学系の理論の整備など、基本的で比較的易しい部分について十分な考察を行いたい。多種のゼータ関数の間の関係や、収束性、発散性などを明らかにするのが目標である。
また、接続の空間など、「物理的」に重要な対象についても我々の研究の応用を試みたい。これにより「経路積分」の我々の理論による解釈が可能になるようにしたい。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
1.研究者同士の打ち合わせのため、旅費として使用する。
2.コンピュータのソフト、部品、論文参照の際に役立つタブレットなどの購入に使用する。
3.非可換幾何学やその関連分野についての書籍の購入に使用する。
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