2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540052
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
中島 徹 日本女子大学, 理学部, 教授 (20244410)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 代数幾何符号 |
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| Research Abstract |
当年度に於いては一般代数幾何符号の基本的性質について研究を行い、以下の様な成果を挙げた。
まず、我々は有限体上有限生成の体Kの上で定義された射影代数多様体Xとその上のベクトル束Eが与えられたときに、Eの切断をXの有限個のK-有理点で評価して定まる自然な写像の像として一般代数幾何符号C(X,E)の概念を導入した。これによって現在知られている全てのタイプの代数幾何符号を同時に一般化する符号が代数幾何学的方法によって定義された事になる。
次に、我々はKがある代数曲線Cの関数体でXがK上定義された曲線の場合に符号C(X,E)のパラメーターの計算を行った。その為にXのモデルとしてC上のファイブレーションをもつ曲面Y→Cを取り、EがY上のベクトル束FのXへの制限となる状況に限定して考察を行った。その結果、Fの全ての閉ファイバーへの制限が半安定であるという仮定の下でC(X,E)の次元を計算する事に成功した。また、この条件を満たすベクトル束Fが実際に存在する事をXが楕円曲線の場合に証明した。この結果は、Friedman-Morgan-Wittenによる楕円曲面上のベクトル束の分類に関する結果を用いる事によって証明される。
最後に、Eとして直線束Lを取った場合にLのn回テンソル積nLから得られる符号C(X,nL)達の作る無限列の漸近的性質に関する考察を行なった。特にLのモデルMに適当な正値性の条件を仮定すると、符号の次元の漸近的挙動はMの体積vol(M)によって記述される事が分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当年度に於いては、本課題の主たる研究対象である一般代数幾何符号の数学的に厳密な定義を与える事が出来た。これにより通常の有限体上の代数幾何符号と畳み込みGoppa符号を統一する枠組みが与えられ、研究の出発点が確立された事になる。
我々の最終目標は、Kが任意の有限体上有限生成の体である場合に一般代数幾何符号がどの様な性質を持つかを解明する事である。本年度はこの目標を達成する為の第一歩として有限体上の代数曲線の関数体K上の曲線から定まる符号を考察したのであったが、当初の計画通り符号のパラメーターに関する具体的な成果を挙げる事が出来た。本年度の成果はファイブレーションを持つ曲面上の安定束の理論を応用したものであり、一般代数幾何符号の研究にモデルの幾何学を利用するという手法が極めて有効である事を示すものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度以降に於いては、本年度の研究の一般化として有限体上有限生成の体Kの超越次数が2以上である場合にK上の射影多様体Xから定義される一般代数幾何符号の研究を行なう予定である。この場合には我々の符号は「多次元畳み込み符号」という新しいタイプの符号となる為、その研究には今までにない困難が予想される。
我々はXのモデルとして、曲面B上の高次元のファイブレーションY→Bの幾何学を用いて一般代数幾何符号の研究を行う予定である。特にEが直線束である場合に一般代数幾何符号のパラメーターの決定を行なう事が重要な課題である。高次元ではベクトル束の安定性だけでは符号の次元の決定には不十分であるため、何らかの正値性の仮定の下で次元の計算を行ないたい。また、最近のArakelov幾何学の研究に現れて来た直線束の体積vol(L)の理論を応用する事によって符号列C(X,nL)の次元の漸近的挙動を研究する予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
該当なし
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