2015 Fiscal Year Research-status Report
対称性を持つ構成法で構成された配置のトーリック環の構造解析
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24540055
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
大杉 英史 関西学院大学, 理工学部, 教授 (80350289)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | グレブナー基底 / トーリックイデアル / マルコフ基底 / 多面体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主たるテーマに掲げるトーリックイデアルの新たな構成法の開発や，実験計画問題などへの応用等のテーマに関して，２０１５年度の研究では，主に以下のような成果を得たので詳細について述べる。
第１に，日比孝之氏，松田一徳氏，柴田和樹氏との共同研究により，有限半順序集合の順序多面体の中心的対称多面体が必ず正規かつゴレンシュタインファノ（反射的）であることをグレブナー基底の理論を駆使して証明した。ゴレンシュタインファノ多面体の新しいクラスの開拓に向けての端緒となる成果であり、重要な成果である。
第２に，青木敏氏，日比孝之氏との共同研究により，複数の多水準因子の一部実施計画により得られる頻度データの分析方法についての研究成果を得た。対数線形モデルの当てはまりを，適当な検定統計量による条件付検定のp 値により判断し，さらにそのp 値をマルコフ連鎖モンテカルロ法により数値計算するというアプローチは，SturmfelsとDiaconisにより分割表解析の枠組みで提案され，実験計画法の枠組みでは青木敏・竹村彰通により定式化された。マルコフ連鎖モンテカルロ法を実行するための重要なステップとして，局外母数に対する十分統計量が観測値と一致するような標本空間上に，既約なマルコフ連鎖を構成するためのマルコフ基底の計算があるが，マルコフ基底がトーリックイデアルの生成系として代数的に特徴付けられることを示したのが，SturmfelsとDiaconisの主結果である。共同研究では，D 型のルート系に付随する配置の中心対称配置が，3 水準のBox-Behnken 計画に対する自然な統計モデルに対応することを示し，ある単項式順序に対するグレブナー基底の具体形を導出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該研究課題の目的の１つは「中心的対称配置」の理論をより発展させることであるが，有限半順序集合の順序多面体という著名な多面体の中心的対称多面体が正規ゴレンシュタインファノという非常に貴重な性質を持つことが判明し，重要な成果を上げることができた。実際この成果は，他の研究者によって，有限半順序集合に付随する様々な正規ゴレンシュタインファノ多面体の構成に拡張され発展を続けている。
また，D 型のルート系に付随する配置の中心対称配置が，3水準のBox-Behnken 計画に対する自然な統計モデルに対応することを示し，そのグレブナー基底を導出したが，従来，２水準の場合以外には応用例がほとんどなく，その意味でも画期的である。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究成果をもとに，引き続き，より一般的なトーリック環の変形理論の構築を目指す。特に，トーリックイデアルの生成系や，グレブナー基底の次数に注目して研究を遂行する。その際，有限グラフに付随する様々なトーリック環を題材にして，実験的な考察も行う予定である。また，今年度は最終年度となるため，これまでに得られた研究成果を積極的に発信する。
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| Causes of Carryover |
所用により出張日程を短縮したことがあったため，若干ではあるが余剰が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
最終年度であるため，学会等に積極的に参加し，研究成果発表に努め，参加者との研究打ち合わせを行う。
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