2012 Fiscal Year Research-status Report
有限体上の代数曲線論とその応用としての符号・有限幾何
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24540056
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
本間 正明 神奈川大学, 理学部, 教授 (80145523)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 有限体 / 代数曲線 / 超曲面 / 「国際情報交換」韓国，アメリカ合衆国 / 「国際研究者交流」ブラジル |
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| Research Abstract |
「有限体 F 上定義された代数曲線，あるいはもっと一般に高次元の代数多様体の F-有理点のなす幾何を調べ，それを符号理論，有限幾何に応用すること」を目的として着手した本研究は動機および道具の両面にわたって，研究代表者がかつて確立した定理，
Sziklai bound に関係している．Sziklai bound とは，「F がq個の元からなるとき，F-直線を成分に持たないような，F上定義された次数dの射影平面曲線のF-有理点の個数は，ただ一つの例外な曲線を除いて，(d-1)q +1 で上から抑えられる」という主張であるが，この事実を基礎として，2012年度は二つの事柄，すなわち，「(a) 一般の射影空間内に次数 d の曲線があるとき，Sziklai bound は有効であるか？言い換えれば，この曲線がq個の元からなる有限体上の有理点を N個持つとき，N は(d-1)q +1 で上から抑えられるであろうか？(b) 射影空間内の超曲面について，Sziklai bound 類似の，次数について線形でtightな bound を見出したい」という目標を掲げた．
これら，２つの方向について，今の時点では一応満足すべき結果：(A) n次元射影空 (n >2)の次数dの曲線のF-有理点についは，(d-1)q +1 で上から抑えられる; (B) n次元射影空間 (n>2)の次数dの既約超曲面のF-有理点の個数は，dについては一次，qについてはn-1次であるような具体的な式(入力システムの都合でここに具体的に書き下すことはできない)で抑えられる，という結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要の項に述べたように，2012年度の目標とした事柄について，一応の決着を見，さらにそれらに関連した問題が新たに浮上してきたことによる．
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| Strategy for Future Research Activity |
上記(A),(B) の成果の下に(A)については，tightなboundを見出すこと，(B)については等号をとる場合の考察を推進する．
2013年度においても，12年度と同様，海外の関連研究者との討論，共同研究が研究進展の鍵をにぎる．以下の3回にわたる海外出張を計画している: (1) 2013年6月2日から9日まで，Centre International de Rencontres Mathematiques, Luminy, Marseille, France「Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Theory」 (2) 2013年7月21日から28日まで，the Otto-von-Guericke University, Magdeburg， Germany 「The 11th International Conference on Finite Fields and their Ap,plications 」 (3) 9月上旬, Minnesota State University, Mankato, USA.
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
12年度の夏にブラジルを訪問し，Voloch教授及びBorges教授と討論し研究の進展に資する予定であったが，研究代表者の私的な事情により果たせなかった．2013年度中に上記の海外出張とは別に，Borges教授をサンパウロに訪問することを計画する．Voloch教授には上記Magdeburg出張の際会うことができる予定である．
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Research Products
(4 results)
