2014 Fiscal Year Annual Research Report
奇数次元球面内の平坦トーラスに関する未解決問題の研究
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24540066
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| Research Institution | Utsunomiya University |
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Principal Investigator |
北川 義久 宇都宮大学, 教育学部, 教授 (20144917)
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2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 微分幾何学 / 部分多様体 / 平坦トーラス / ３次元球面 / 直径 / 剛性 / 正則閉曲線 / ２重接触 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者は，１９８０年代後半，２次元単位球面上の正則閉曲線対から３次元単位球面内の平坦トーラスを構成する方法を開発した．そして，この構成法を応用することにより，現在までに，３次元単位球面内の平坦トーラスに関する興味深い研究成果を数多く得た．しかし，３次元単位球面内のクリフォードトーラスの剛性に関する問題など，重要な未解決問題も残されている．このような現状をふまえ，本研究では，研究期間（平成２４年度～２６年度）内に，次の二つの研究を実施し，この分野の更なる発展を目指すこととした．
（研究A）３次元単位球面内の平坦トーラスの直径は円周率に等しいという「直径予想」に関する研究を推進し，この分野における重要な未解決問題である「クリフォードトーラスの剛性」に関する問題の解決を目指す．
（研究B）３次元単位球面内の平坦トーラスについて得られている諸定理の高次元化の問題を研究するため，(2n-1)次元単位球面内の n次元平坦トーラスの構成法を開発する．
今年度は，前年度と同様，２重接触予想の完全解決を目指した．そのため，連携研究者との研究打合せを行うとともに，国内で開催された微分幾何学関連の研究集会に参加し，２重接触予想に関連する情報の収集に努めた．さらに，連携研究者とのセミナーを行い，得られた情報を共有するとともに，２重接触予想を解決するためのアイデアについて検討した．その過程で，２重接触予想を部分的に解決した論文「Extrinsic diameter of immersed flat tori in S3」の中に証明が不十分なヶ所が見つかったが，別のアイデアを用いて，その問題を解決した．
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