2015 Fiscal Year Research-status Report
３次元多様体の例外的手術を用いた特殊な４次元多様体の構成
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24540070
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
山田 裕一 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (30303019)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山口 耕平 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (00175655)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ３次元多様体 / ４次元多様体 / デーン手術 / 枠付き絡み目 / Kirby計算 / divide knot / 特異点論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
デーン手術によって双曲的な結び目から“例外的に”双曲的でない３次元多様体が生じる現象は「例外的手術」と呼ばれ、低次元多様体論の１つの課題である。筆者はこの現象に関連する特殊な４次元多様体を分析したり構成したりすることを研究目標としている。Ｈ２７年度中には、前年度秋に見つけた課題が進んだのでその成果を各地で講演したが、論文の執筆が計画通りに進まなかった。特に、丹下基生氏（筑波大学）との共著論文を仕上げられなかったことは痛恨である。以下、研究活動を具体的に述べる：1,Mazur linkとAkbulut-Yasui linkについて蒲谷祐一氏（当時、数理研）の指摘を完遂した：Minimally Twisted 4 chain linkに関する結果を利用して例外的手術をすべて分類し、「地理的考察」を提案した。この成果を国際集会（開催地は阪市大）の招待講演で講演した他、学習院大、研究集会「４次元トポロジー」、「瀬戸内結び目セミナー」で講演した。2,これまでの研究のsurveyをトポロジー火曜セミナー（東大数理）で講演した。3,丹下氏が運営している「ハンドルセミナー」に毎回参加し講演を１回行った。4,丹下氏、安部哲哉氏（大阪市立大）と研究集会「微分トポロジー'16」（筑波大）を開催した。
研究分担者の山口氏は、複素多様体Mから複素多様体Nへの連続写像全体のなす無現次元である写像空間Map(M,N)のホモトピー型を、多項式で表現される代数的写像（正則写像）のなす有限次元部分空間 Hol(M,N)でどの程度まで近似できるかを調べる研究を継続した。特に、Mが複素１次元舎衛空間CP1で、Nがnon-singular smooth toric多様体の場合にこの問題を研究した。今後への期待が高まっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
やや遅れていると言わざるを得ない。そのように判断する理由は次の一点である：丹下氏（筑波大）との共著論文：異なる族のレンズ空間手術で同じレンズ空間を生じる組に関する研究を年度内に仕上げることができなかった。その理由として、所属大学の改組準備で仕事の変化に苦心したことを挙げられる。新年度で改組が実現した今、状況が一段落することに期待している。上記の理由を述べ、前述の共著論文の仕上げを具体的な目標・区切りと設定して、１年間の研究期間延長を申請して承認を受けている。論文はほとんど完成しており、少しまとまった時間があれば完成できるはずである。
Ｈ２７年度内に、国際集会The East Asian School of Knots and Related topicsの招待講演を含む６回もの講演を行なったことにたいへん満足している。むしろ講演準備に時間をかけすぎたと言えるかも知れない。内容はMazur linkとAkbulut-Yasui linkの整数係数の例外的手術をすべて分類して「地理的考察」を展開するもので、前年度の秋に取り組み始めた研究である。講演を準備するたびに内容的にも進展し、説明のアイデアが湧き、研究活動はたいへん充実した。いろいろな視点から考察を広げるに価する興味深い結果だと考えている。
研究期間は延長したが予算はほとんど残っていないので、研究活動としては研究成果発表の効果を高めるための新しいソフトウェアを購入しようと考えている程度である。何より論文執筆を優先したい。本研究は、ほぼ計画当初の構想に沿う研究活動を達成できるものと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究初年度から順に、１おおむね順調、２成果発表の観点で遅れが少々あった、３成果発表の点では充分に活躍できた、という過程を経て４年目、成果発表の点ではさらに充実したが結局論文の執筆が遅れてしまった。しかし、その理由は自己分析している：1,改組で学内業務に変化があり、想像した以上に時間を取られた。2,新しい研究成果に本質的に幾何でアイデアの説明を必要とするものがあり、講演資料の作図などに時間がかかった。改組後しばらくは慣れない任務は増えるかもしれないが、実は６年前にも改組を経験しており、影響は次第に薄まるものと期待できる。研究活動は基本的に申請時の通りで計画変更の必要はないと考えている。
最終年度を更新したＨ２８年度は、研究活動としては成果公表と論文執筆を優先する。精神として以下に挙げる２つの観点で活動のバランスを意識して研究を継続したい：・執筆の優先順位、・研究分野や研究仲間への貢献をどの程度重視するか。大学教員としての仕事が増えてそのようなバランス感覚が特に必要になったと考えている。Ｈ２７年度に、新しい研究成果に関して、招待講演を含む４回の講演を行なって手応えが比較的良かった。なので、執筆中の論文を優先しつつも、この新しい成果もなるべく早く論文にまとめたい。
研究テーマ自体には変更はない：例外的手術を生じる結び目のdivide knot表示とその４次元多様体論への応用を研究する。可能な範囲で、divide linkとは限らない２成分絡み目の例外的手術を考察し４次元多様体論への応用を考えたい。
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| Causes of Carryover |
所属大学の改組準備で仕事の変化に苦心したことを挙げることができる。年度が変わり改組が実現した今、状況が一段落することを期待したい。執筆中の共著論文の仕上げを具体的な目標・区切りと設定し、上記の理由を述べて１年間の研究期間延長を申請して承認を受けた。論文はほとんど完成しており、少しまとまった時間があれば完成できるはずである。
Ｈ２７年度内に、国際集会The East Asian School of Knots and Related topicsでの招待講演を含む６回の研究成果の講演を行なったことにたいへん満足できる。講演を準備するたびに内容的にも進展し、説明のアイデアが湧き、研究活動はたいへん充実した。したがって、内容的な計画変更は不要と考えている。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
例外的手術を利用して特殊な４次元多様体を構成する研究を継続し、研究期間を延長して５年目である最終年度の活動を行う。研究期間は延長したが、本研究の予算はほとんど残っていないので、研究活動としては研究成果発表の効果を高めるための新しいソフトウェアを購入しようと考えている程度である。なお、別の予算で毎年恒例の国内の集会 (a)夏のトポロジーシンポジウム（神戸大）、(b)ILDT（京大数理研）、(c)４次元多様体のトポロジー（阪市大）、(d)日本数学会（関西大学）などには参加予定である。他に現時点で講演を打診されている集会が２つある。ただしなるべく論文執筆を優先したい。まずは共著論文を完成して投稿することを目指す。前年度中に各地で講演した課題の論文執筆もなるべく進めたい。
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Research Products
(8 results)
