Geometry on concordance invariants of knots and links

2017 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 24540074
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 川村 友美 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40348462)
• Project Period (FY): 2012-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 結び目と絡み目 / 結び目と絡み目の射影図 / ザイフェルト曲面 / 種数 / ４次種数 / 絡み目コンコルダンス不変量 / 絡み目のホモロジー

Outline of Annual Research Achievements

結び目理論は幾何学の一分野であり，その中で，複雑さを数値や多項式などで表した結び目不変量は数多く構成され研究がなされてきた．本研究の目的は，実３次球面内または実３次空間内の結び目や絡み目の不変量のうち，４次元トポロジーが深く関わるコンコルダンス不変量とよばれるものに注目し，結び目解消数や種数や４次種数といった古典的な不変量の評価との関係を解明することであった．とくに，各種の絡み目のホモロジーを経由して定義された不変量の性質を分析し，それらの決定公式もしくはより精度の高い評価式の存在を示すことを目指していた．
本年度も前年度までと同様にこの課題に取り組んできた．研究代表者による過去の研究成果である，あるコンコルダンス不変量の絡み目射影図による評価方法に関して，他の新しい不変量族について応用できる見通しを前年度までにたてており，本年度はまずその解決を目指した．しかし本年度中は明確な研究成果をまとめるに至らなかった．この作業に難航したこともあり，不変量の基盤である各種理論も重点的に分析するという当初計画も，本研究期間内には満足できる議論展開には至らなかった．
関連として，大黒と境と高瀬が考案した結び目射影図変形に関する議論の絡み目への拡張の議論を前年度までにほぼ完成させていたものを論文にまとめて学術誌に投稿した．これは研究代表者が指導した平成２６年度の修士論文の継続研究成果でもあり，絡み目射影図に対応するザイフェルト曲面の種数を減らす方法を示したものである．これを動機として、４次種数や他のコンコルダンス不変量の評価に適した絡み目射影図を得る手順の構築も試みた．大黒と境による変形では成功しない難しさもあり，まだ限定的な条件下でのみの議論に留まっているため，本年度中の発表には至っていない．今後はこの議論と上記の不変量族の評価を合わせて研究成果をまとめていく予定である．

Remarks

Tomomi Kawamura, Akihiko Satoh, Bridge-replacing moves on links, 投稿中．