2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540076
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
上 正明 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80134443)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 毅 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20273427)
藤井 道彦 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60254231)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | ４次元多様体 / ３次元多様体 / ザイフェルト多様体 / Seiberg-Witten理論 |
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| Research Abstract |
研究代表者の上は３，４次元多様体のトポロジーのSeiberg-Witten理論，Heegaard-Floerホモロジー理論に由来する不変量を通じての研究を継続した．特に３次元のザイフェルト有理ホモロジー３球面の場合に，Ozsvath-Szaboの補正項不変量とNeumannとSiebenmannに由来し福本古田不変量とも関連するmu-bar不変量とのずれを記述するため，これらの不変量とエータ不変量との関係を探った．その結果符号数作用素とディラック作用素のエータ不変量の和が底空間のorbifoldオイラー数が０以上のザイフェルト有理ホモロジー３球面の場合にmu-bar不変量と一致することを見出した．これについては2012年11月の広島大学における４次元トポロジーの研究集会で講演した．この結果はMrowka-Ruberman-Savelievによって得られたザイフェルト整係数ホモロジー３球面に対する同種の結果の補完物であるが，より一般のザイフェルト有理ホモロジー３球面に対しても拡張されることが期待され，そのためにプレプリントの改訂を計画中である．なお2013年になってManolescuがSeiberg-Witten方程式の有限近似の手法に由来するSeiberg-Witten Floerホモロジースペクトラムから有理ホモロジー３球面上の新たなホモロジーコボルディズム不変量で古典的なRochlin不変量の整数値への持ち上げになっているものを構成し，Rochlin不変量が0でない整係数ホモロジー３球面でホモロジーコボルディズム群の中で位数２のものが存在しないこと，これにより５次元以上の位相多様体で単体分割を持たないものがあることをアナウンスしている．我々もSeiberg-Witten方程式の有限近似を用いており，双方の関連が今後の研究課題である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ザイフェルト有理ホモロジー３球面に対するエータ不変量とmu-bar不変量の対応関係はある条件をつけた形で得られたが，これをより一般化すること，ザイフェルト多様体以外のグラフ多様体に対するmu-bar不変量のコボルディズム不変性を示すことは，技術的困難により進展は少し遅くなっている．またこれまでに得られた結果から境界つき４次元多様体の交叉形式に関する制約を導くことができるが，具体例についての詳細な探求はこれからである．さらに2013年のManolescuによる新たな不変量の登場により，それとの関連を見据えた研究方向を新たに視野に入れる必要が生じている．
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| Strategy for Future Research Activity |
一般の３次元多様体の福本古田不変量（ザイフェルト有理ホモロジー３球面の場合はmu-bar不変量に一致する）およびHeegaard Floerホモロジー理論に由来する補正項不変量との関連，両者の相違の同定についてより一般に研究することをめざす．特に2013年に登場したManolescuによる新たな不変量との関連を追及することにより．３次元多様体の新たなホモロジーコボルディズム不変量，既存の不変量の新たな性質の発見，およびそれらの応用として境界つき４次元多様体の交叉形式に対する新たな制約を見いだすことをめざす．特に我々の手法もManolescuの手法もSeiberg-Witten方程式の有限近似を用いており，整数値の不変量どうしの比較のみならず，Floerホモロジーレベルで各種のFloerホモロジーと有限近似の理論との関連を追及することを視野に入れる．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度も今年度同様トポロジーシンポジウムや４次元トポロジー研究集会に参加し，最新の研究動向の把握に努める．また2013年8月にアメリカ合衆国ミネソタ大学において低次元トポロジー，シンプレクティックトポロジーに関連するワークショップが計画されており，これに参加することで国内外の最新の研究成果を収集し，研究者どうしの意見交換を通じて研究の進展につとめたい．また３次元多様体に関する知見を深めるために[Graphと３次元多様体の研究」（代表河野正晴氏）や「international Workshop on Spatial Graphs 2013」（代表谷山公規氏）等のトポロジープロジェクトに参加する研究者との研究交流のために旅費を使用することを計画している．さらに数年来４次元トポロジーに関する概説書の執筆を計画し９割ほど出来上がっているが，残りの完成のための文献資料の収集にも研究費を使用したい．
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Research Products
(1 results)
