2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540077
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
葉廣 和夫 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (80346064)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 3次元多様体 / 枠付き絡み目 / Kirbyカルキュラス / 圏化 / 量子群 / リボン元 / Borromean手術 / 複体 |
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| Research Abstract |
本年度は２つの論文を完成させ、１つの論文をほぼ完成させることができた。
１．T. Widmer氏と共同で、３次元多様体の中の枠付き絡み目に関するKirbyカルキュラスについての論文を完成させた。この論文では、まず、FennとRourkeによる閉3次元多様体の中の枠付き絡み目のKirby操作で生成される同値関係の特徴づけを、境界をもつ3次元多様体に対して一般化した。次に、この結果を枠付き絡み目の各成分が3次元多様体の中でヌルホモトピックである場合に対して応用し、そのような絡み目がKirby操作の列で移りあうための必要十分条件を与えた。また、Widmer氏と共同で３次元多様体の中のnull-homologous な枠付き絡み目のKirbyカルキュラスについての研究を進めている（論文準備中）。
２．E. Contreras氏と共同で、境界をもつスピン3次元多様体のBorromean手術同値関係の特徴づけについて考察した。ただし、3次元多様体の1次元ホモロジー群が２トーションを持たない場合にのみ予想を証明することができた。現在、一般の場合への拡張を試みている。
３．A. Beliakova氏と共同で、量子sl(2)の圏化におけるリボン元に対応する複体の構成を行い、論文をほぼ完成させた。リボン元は量子群における重要な可逆元であり、中心に含まれる。論文ではリボン元に対応する複体の定義と、他の元との可換性に対応する性質、及び可逆性に対応する性質を証明することができた。リボン元は普遍R行列にかなり近い構造であり、今回のリボン元の圏化についての研究が普遍R行列の圏化の構成につながるのではないかと期待している。
交付申請書に記述した研究の目的に挙げられている上記以外の事項（特に３次元多様体の量子基本群および量子表現空間）についても、完成にはまだ至っていないものの、研究を行い、論文の準備が進みつつある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
順調に進展していると考える。特に研究目的３の、普遍量子不変量の圏化に関して、リボン元の圏化を構成することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に引き続き、研究目的の３項目（量子不変量、量子基本群・量子表現空間、量子不変量の圏化）についての研究を行っていく。特に、T. Widmer氏とのnull-homologousな枠付き絡み目に対するKirbyカルキュラスについての論文、A. Beliakova氏、M. Zivkovic氏と共同の量子sl(2)の圏化のトレースについての論文、量子基本群・量子表現空間についての論文（単著）を完成させることが、当面の大きな目標である。
数学の研究においては、計画通りに研究が進まないこともしばしばあり、予想外の進展があったり困難に直面したりする可能性は十分に考えられる。そのような場合には柔軟に計画を修正しながら研究を進めていく。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
今年度の研究費の大部分は、研究に使用したが、８万円程度が残った。これについては次年度において、物品購入費と旅費の一部に充てる。
次年度の研究費および今年度からの繰り越し分（上記）については、主に、研究に必要な書籍、文具、消耗品などの購入、および研究打ち合わせと研究発表のための出張に必要な旅費のために使用する予定である。
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