2012 Fiscal Year Research-status Report
１次元２階微分作用素のスペクトル漸近定理とその拡散過程への応用
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24540110
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
笠原 勇二 筑波大学, 数理物質系, 教授 (60108975)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梁 松 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60324399)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 拡散過程 / スペクトル関数 |
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| Research Abstract |
本研究の目的は、１次元２階微分作用素について、スペクトル関数の漸近挙動を調べ、拡散過程に応用することである。問題自身は古典的問題ではあるが、本研究の新しい点は逆問題に重点をおく点に加えて、次の２点である。
（１）従来は各種の量を、正則変動関数のクラスで考えることが必須と思われていたが、この条件を外したい。（２）従来、Feller の標準形の標準測度の言葉で与えられていた条件を、古典的な微分作用素の形のままで表現することを考えたい。
研究のスタートラインは、数年前の渡辺信三氏との共同研究で得られた、一般化２階微分作用素（確率論的にはフェラー生成作用素）と、ブラウン運動のある加法的汎関数、および（スペクトル関数を与える）Herglotz 関数の対応関係である。
本年度は、初年度であり、拡散過程のKolmogorov の古典的微分作用素のドリフト係数とフェラーの標準形における標準測度（speed measure）の相互関係をタウバー型定理の形でまとめてみた。詳しく説明すると、１次元拡散過程のひとつの典型であるBessel過程の場合は、標準測度やスペクトル関数、確率推移密度等が特殊関数を用いて具体的に計算されているが、漸近的にBessel 過程に近い場合はどうなるか、またその逆はどうなるかを研究した。得られた主な結果は次の通りである。ラプラシアンにドリフト項がついた形の２階微分作用素の場合、標準測度が正則変動するためのドリフト項の必要十分条件を求めることに成功した。これらは現在論文にまとめている段階であり、一部は関西学院大学の小谷眞一氏との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
拡散過程の生成作用素の表現方法にはKolmogorov型の古典的な形とFeller の標準形などがあり、２４年度はFellerの標準形における標準測度が正則変動であるための必要十分条件をKolmogorov型の表現で求めることであった。ベースになるアイデアは既に申請時点にあったので、それを具体化するのが２４年度の目標であり、この目標について、ほぼ順調に成果を得ることが出来た。
主な結果をラフに言うと、拡散係数が定数１／２のときに限ることにすると、ベッセル過程のときドリフト項は定数掛ける１／ｘであるが、これに（ある意味で）近いことが標準測度が正則変動であるための必要十分条件であることは想像できるが、その「（ある意味で）近い」ことの厳密な意味を、正則変動関数の標準形と関連づけて表現することが出来た。単に「同じオーダーであればよい」わけではなく、より精密な評価が必要であることが明らかになった。また、順問題は比較的想像しやすいが、一見不可能に見えた逆問題もほぼ解けた点も成果である。
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| Strategy for Future Research Activity |
２４年度に得られた主要な結果は、既にファーストドラフトとしてまとめてあるが、やや煩雑の感があり、細部の詰めと、さらなる整理、およびブラシアップが必要と考えている。従って、２５年度は、これらの作業を行うが、さらにスペクトル関数や確率密度の漸近挙動の問題とも関連付けて、投稿出来るレベルの論文に仕上げる計画である。一部は関西学院大学の小谷眞一氏との共同研究によるもので、２５年度は密接な連絡をとりながら共著論文とする予定である。
また、平行して、レシオ型のタウバー型定理も試みる予定である。さらに、現在までの結果は左端が流入タイプの拡散過程に限っていたところを、より一般の場合についても考えてみたい。これらの問題については、専門の近い人達と情報交換をしながら薦める予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
【次年度繰越の理由】２４年度は一部の研究を小谷眞一氏との共同研究とした。このため、年度末の春休みに小谷氏と研究打ち合わせの予定をしていたが、大学の業務のため日程合わず、やむなく延期した。このため、一回分の出張旅費を２５年度に繰り越した。これは予定通り、小谷氏との研究連絡に使用する。
【２５年度の使用計画】２５年度は主として研究連絡や学会・研究集会出席・発表の為の旅費と関連図書の購入、及びパソコン関係の消耗品に使用する。旅費は、研究代表者と分担者のほか、院生を情報収集のため各種研究集会に派遣する旅費も含む。備品の購入計画はない。
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