2015 Fiscal Year Annual Research Report
１次元２階微分作用素のスペクトル漸近定理とその拡散過程への応用
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24540110
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
笠原 勇二 筑波大学, 数理物質系, 教授 (60108975)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梁 松 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60324399)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 拡散過程 / スペクトル関数 / hitting time / タウバー型定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、１次元２階微分作用素について、その係数とスペクトル関数の漸近挙動（とくに原点近傍での挙動）の間の相互関係を調べ、さらにその結果を１次元拡散過程に応用することである。
前年度までの研究の中心的関心事は次の通りである。まず、この微分作用素をフェラー標準形で表したとき、そこに現れる標準測度やスケール関数の（遠方での）漸近挙動と、もとの作用素の係数との関係を明らかにし、これにより、問題をM.G.Krein やS.Kotani のスペクトル理論の話しに帰着することに成功した。この結果、ベッセル過程を摂動させた拡散過程の遷移確率密度の漸近挙動が明らかになり、また逆問題にも成果が得られた。
そこで２７年度は、上述した前年度までの研究の発展として、１次元拡散過程のfirst hitting timeへの応用を考えた。ベッセル過程の場合は分布のラプラス変換が各種の特殊関数を用いて具体的に表されることを用いてHamana-Matsumoto が末尾確率を計算したが、本研究ではより一般の拡散過程に対して彼らの結果の一般化となる定理を得ることができた。成果はすでに論文にまとめ雑誌に投稿済みである。
本研究結果の意義は次のとおりである。ブラウン運動やベッセル過程は、推移確率密度や各種汎関数が各種の特殊関数を用いて具体的に表すことが出来るのでその挙動は調べやすいが、ベッセル過程を少しでも摂動させた場合にどうなるかについては不明となる。そこで、本研究では生成作用素の係数の摂動が拡散過程にどのような影響を与えるかを明らかにした。また、部分的ではあるが、逆問題にも解答を与えたことになる。
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