2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540144
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
酒井 利訓 東海大学, 教育研究所, 教授 (20267842)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流（メキシコ） / 重み付き点集合 / 単調多角形 / 単調無交差道 / 島 |
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| Research Abstract |
平面上の重み付き点集合P（一般の位置にあるn点で，重みとして1からnまでの各整数値が1つずつ割り当てられたものを主な研究対象とする）の何個かの点を頂点とする単純多角形や無交差の折れ線について，以下の研究成果を得た。
まず，Pの点が凸の位置（凸n角形の頂点の位置）にある場合について，そのうちの何個かの点を頂点とする無交差折れ線で，頂点の重みに関して周に沿う単調性があるもの（単調無交差道）について，「どの点pに対しても，その点pを通り，長さ(2n-2)＾(1/2)以上の単調無交差道が存在する」ことを示した。ただし，「長さ」とは，折れ線の頂点（両端点も含む）の総数である。これは，「平面上の任意の重み付き点集合Pに対して，長さ2n＾(1/2)-1以上の単調無交差道が存在する」という予想に対する研究の成果として得られたものである。また，任意の重み付き点集合Pに対する「単調多角形」（単純多角形であって，単調無交差道の両端点を辺で結んで得られるもの）の頂点の重みの総和の最大値について，従前よりもよい結果が得られ，最大値がn(2n/3)＾(1/2)よりも真に大きいことが示された。
また，Pの点が一般の位置にある場合について，Pの何個かの点を頂点とする凸多角形Q（1点および2点に対する凸包も含める）の周上と内部にあるPの点の重みの和W(Q)に関する予想「n≧8のとき，W(Q)=2nである凸多角形Qが存在する」に関連して，「1≦m≦(n＾2+n)/4をみたす任意の整数mに対して，|W(Q)-m|≦n/8をみたす凸多角形Qが存在する」，「Pの点の重みとしてとり得る値を1,2,3,4に限定し，それぞれの重さの点が少なくとも1つ存在するならば，1≦m≦(重さの総和)/2をみたす任意の整数mに対して，W(Q)=mをみたす凸多角形Qが存在する」という結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
平成24年度は，単調多角形や単調無交差道に関する研究に重点をおきつつ研究を進めた。これらについて，「研究実績」欄に記した成果の他，いくつかの結果は得られたが，後者については，論文にするにはもう一歩踏み込む必要がある。また，大きな目標としている「任意の重み付き点集合Pに対して，長さ2n＾(1/2)-1以上の単調無交差道が存在する」という予想の証明には，これまでとは異なる視点からのアプローチが必要であるように思われる。
もう1つの大きなテーマである「多角形の重み」に関しては，これまでほとんど研究されてきていないため，問題には多くのバリエーションが考えられる。そのため，12月の学会発表以降，関連する問題についてある程度の進展が見られ，今後の発表や論文作成へ向けての見通しが得られてきている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，「（単調性の条件を除いた）多角形の重み」に関する研究に重点をおくが，単調多角形や単調無交差道に関する研究も引き続き行う。とくに，Pが一般の位置にある場合についてはまだ研究の余地があり，この場合の単調多角形としては，内部にPの点を含まない単調多角形（凸でなくてよい）が主な研究対象になる。
「多角形の重み」については，これまでほとんど研究されてきていない。そのため，「研究実績の概要」で述べた「W(Q)=2nをみたす単純多角形Qの存在性」の問題の他にも，多くの問題やそのバリエーションが考えられる。例えば，重さW(Q_i)についてのある条件を満たすような単純多角形Q_iの集合{Q_1, A_2, …, Q_m}を対象にした問題がその1つであり，また，海外共同研究者からは，計算幾何学的な観点からの問題が提起されている。そこで，「多角形の重み」については，多面的な研究を推進することにも意識的に取り組み，その成果を論文にまとめて発表していきたい。
なお，秋以降に海外共同研究者との共同研究を行う予定であるが，日程的な都合（「次年度の研究費の使用計画」参照）がつけば，9月に2名の海外共同研究者を招聘することを計画している。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
平成24年度は，「外国旅費」として，「研究打合せ」に320,000円，「成果発表」に446,000円を予定していた。「研究打合せ」については，研究代表者の出張予定を変更して，海外の共同研究者を招聘することとしたため，予算を約16万円上回る支出となった。一方，「成果発表」の場として予定していたドイツでの国際会議のかわりに，招待講演者として招かれたタイでの国際会議で発表することとしたところ，航空運賃が計画よりも大幅に安かったため，支出は約30万円下回り，結局，「外国旅費」の支出は予算よりも約14万円下回ることになった。「消耗品費」の支出が予算を少し上回ったが，「設備備品費」および「その他」（国際会議参加登録料および会議費）の支出が予算を下回り，上述の「外国旅費」の余剰と合わせた約27万円が次年度使用額となる。この額と平成25年度請求分の「外国旅費」の約50万円を合わせた約78万円を平成25年度の成果発表の外国旅費および海外共同研究者の招聘に充てる予定である。海外での成果発表は，11月にメキシコで開催されるMexican Conference on Discrete Mathematics and Computational Geometryでの発表を予定しており，これに約34万円の支出を予定している。残りの約44万円を海外共同研究者の招聘に充てる予定である。日程的な都合がつけば，9月に日本で開催される国際会議後に共同研究を行う日程を組むことで，航空運賃を節減し，2名の海外共同研究者を招聘する。
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